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#1 29-03-2018 08:08:50

titoww
Membre
Inscription : 29-03-2018
Messages : 2

droite tangente à une courbe

Bonjour,
L'outil de recherche ne m'a pas vraiment permis de répondre à ma question. En réalité je ne sais même pas si ma question a du sens.
Je cherche à savoir s'il est possible (ou si ça a du sens) de démontrer qu'une droite d'équation [tex]y=ax+b[/tex] est tangente en [tex]x_0[/tex] à une courbe représentative d'une fonction [tex]f[/tex] autrement qu'en utilisant le nombre dérivé [tex]f'(x_0)[/tex] (qui est, oui oui je le sais bien, le coefficient directeur de la tangente à la courbe en [tex]x_0[/tex]).

L'idée que j'avais eu était alors d'étudier  [tex]f(x)-ax-b[/tex] et de montrer que cette fonction gardait son signe au voisinage de [tex]x_0[/tex] en s'annulant en [tex]x_0[/tex], mais les hypothèses me semble nécessiter que [tex]f[/tex] soit deux fois dérivable (?).

Pour le dire autrement, je cherchais à démontrer que la droite d'équation réduite que l'on connaît [tex]y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)[/tex] était bien tangente à la courbe représentative de [tex]f[/tex], et c'est là où je bug car j'ai l'impression que ça n'a pas de sens de par la définition du nombre dérivé.

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#2 29-03-2018 12:51:23

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : droite tangente à une courbe

Bonjour,

Question pas simple (en tout cas pour moi)...
Je vois deux façons de répondre.
Un exemple :
soit f de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] telle que [tex]f(x)=x^3-3x+1[/tex]
La droite d'équation y = 9x-15 est-elle tangente à la courbe en [tex]x_0=2[/tex] ?
1. Je joue sur les mots et je réinvente la roue...
    Soit A le point de la courbe de coordonnées (2 ; 3)
    Soit B le point de la courbe de coordonnées [tex](a\,;\, a^3-3a+1)[/tex]
    Le coefficient directeur de la droite (AB) est :
    [tex]m = \dfrac{a^3-3a+1-3}{a-2}=\dfrac{(a-2)(a^2+2a+1)}{a-2}[/tex]
    Puisque [tex]a \neq 2[/tex], alors [tex]m= a^2+2a+1[/tex]
    La tangente en A )à la courbe est la position ultime de la droite (AB) quand je vais faire tendre B vers A en le déplaçant sur la courbe.
    Autrement dit, on fait tendre a vers 2, et le coefficient directeur de ladite Tangente est la limite de m quand x tend vers 2, soit 9.
    L'équation de cette tangente est de la forme [tex]y = mx+p = 9x+p[/tex]
    J'écris que A est sur la tangente [tex]3 = 9\times 2 +p[/tex] d'où p =-15
    L'équation de la tangente est bien [tex]y=9x-15[/tex]
2. Je choisis un point B sur un intervalle I dont 2 est une borne inférieure ou supérieure telle Cf ne chage pas de courbure sur I.
    Ici, [tex]I=[1\,;\,2][/tex]. C'est le point faible. Comment le savoir ? Je n'y ai pas éfléchi...
    Je reprends l'idée d'utiliser [tex]g(x)=x^3-3x+1-9x+15 = x^3-12x+16[/tex]
    Mais en cherchant quel est l'ensemble des abscisses des points d'intersection de Cf avec la droite d'équation [tex]y=9x-15[/tex]
    Soit, les solutions de [tex]x^3-12x+16 = 0[/tex].
    Je sais que 2 est solution.
    Donc je vais factoriser [tex]x^3-12x+16[/tex] avec [tex](x-2)[/tex] :
    [tex]x^3-12x+16 = 0\;\Leftrightarrow\;(x-2)(x^2+2x-8)=0[/tex]
    x^2-2x-8=0
    [tex]\Delta =4+32=36=6^2[/tex]
    Solutions =[tex] \dfrac{-2\pm 6}{2}[/tex] soit [tex]\{-4;2\}[/tex]
    Donc [tex]x^3-12x+16 = 0\;\Leftrightarrow\;(x-2)^2(x+4)=0[/tex]
    La solution x=4 n'appartient pas à l'intervalle I.
   Il n'y a qu'un seul point d'intersection sur I entre la droite d'équation [tex]y =9x-15[/tex] et la courbe Cf : il s'agit bien de la tangente en x=2...

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#3 29-03-2018 18:37:45

titoww
Membre
Inscription : 29-03-2018
Messages : 2

Re : droite tangente à une courbe

Bonjour,

yoshi a écrit :

1. Je joue sur les mots et je réinvente la roue...

C'est bien ce que j'avais l'impression de faire :D Mais je crois bien que votre proposition 1 est la plus proche de me convaincre / de ce que je recherchais.

Pour votre seconde proposition, ne faudrait-il pas réaliser le même travail sur un intervalle où 2 est une borne inférieure ? J'avoue n'avoir pas trop saisi en quoi l'étude sur [tex][1,2][/tex] est suffisante.

Dans tous les cas merci beaucoup pour avoir pris le temps de considérer ma question.

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#4 29-03-2018 20:09:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : droite tangente à une courbe

RE,

Si on se place en dehors de [1 ; 2], il y aura changement de courbure et un point d'intersection ce qui m'empêchera de conclure...

Quand je dis que je joue sur les mots et que le réinvente la roue, c'est que c'est comme ça qu'est définie la notion de nombre dérivé en [tex]x_0[/tex]

Soit f telle que [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
[tex]f(x_1)=ax_1^2+bx_1+c[/tex]
[tex]f(x_0)=ax_0^2+bx_0+c[/tex] et $x_0\neq x_1$

Soit [tex]m =\dfrac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1}[/tex]

[tex]m=\dfrac{ax_0^2+bx_0+c-ax_1^2-bx_1-c}{x_0-x_1}=\dfrac{a(x_0^2-x_1^2)+b(x_0-x_1)}{x_0-x_1}=\dfrac{a(x_0-x_1)(x_0+x_1)+b(x_0-x_1)}{x_0-x_1}[/tex]

On simplifie par $(x_0-x_1)$
[tex]m= a(x_0+x_1)+b[/tex]
Et on fait tendre $x_1$ vers $x_0$, alors m tend vers $2x_0+b$  qui vaut $f'(x_0)$

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