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#1 13-03-2018 20:01:16

Binks
Invité

Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité

Bonjour à tous (et à toutes),

Je suis en première année d'études supérieures de math-info, et j'étudie à distance..
Jusqu'à cet exercice, j'ai réussi à me débrouiller avec les ressources disponibles sur le net,
mais j'avoue que sur ce problème que l'on me demande de résoudre, je sèche pas mal..
Je suis débutant en mathématiques, donc merci beaucoup pour les aides et connaissances
que vous pourrez m'apporter.. Je vous propose de mettre l'énoncé ci-dessous ainsi que ce
que je pense pour chacune des trois questions.

Soit [tex]I[/tex] un intervalle ouvert contenant 0 et 1 et [tex]f : I \rightarrow R[/tex] une fonction dérivable. On pose [tex]p = f(1) - f(0)[/tex].

1) Soit [tex]g : [0,1] \rightarrow R[/tex] la fonction définie par [tex]g(0) = f'(0)[/tex] et [tex]g(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x}[/tex] sinon.
Montrer que si [tex]u[/tex] est un réel compris entre [tex]f'(0)[/tex] et [tex]p[/tex] alors il existe [tex]a \in [0,1][/tex] tel que [tex]u = f'(a)[/tex]. 
J'ai pensé qu'il fallait considérer les cas : [tex]f’(0) < u < p[/tex] et [tex]p < u < f’(0)[/tex] et montrer que [tex]f’(0) < u < f'(1)[/tex] et [tex]f'(1) < u < f’(0)[/tex].. Il faudrait alors pouvoir montrer que [tex]g(1) = f'(1)[/tex] peut être.. mais comment ? Je vois bien que l'expression de cette fonction est très semblable à celle du nombre dérivé si l'on passait à la limite.. Bon j'ai de gros doutes sur ces raisonnements.
2) Soit [tex]h : [0,1] \rightarrow R[/tex] la fonction définie par [tex]h(1) = f'(1)[/tex] et [tex]h(x) = \frac{f(x)-f(1)}{x-1}[/tex] sinon.
Montrer que si [tex]v[/tex] est un réel compris entre [tex]f'(1)[/tex] et [tex]p[/tex] alors il existe [tex]b \in [0,1][/tex] tel que [tex]v = f'(b)[/tex]. 
Même chose que pour 1) mais en tentant de montrer que [tex]h(0) = f'(0)[/tex]..
3) Soit [tex]w[/tex] un réel compris entre [tex]f'(0)[/tex] et f'(1). Montrer qu'il existe [tex]c \in [0,1][/tex] tel que [tex]w = f'(c)[/tex].
Dire que dans tous les cas, selon les questions précédentes, on a ce qu'on cherche..

Il s'agit de montrer que [tex]f'[/tex] vérifie le théorème des valeurs intermédiaires sans avoir émis d'hypothèse de continuité sur celle-ci.
Merci beaucoup si vous pouvez m'indiquer aussi une aide à la compréhension générale de cet exercice..

#2 13-03-2018 21:16:56

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité

Bonsoir,

La clé de cet exercice est d'utiliser le théorème des accroissements finis.
Il faut donc trouver deux points $a$ et $b$ tels que $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=u$, ce qui permettra de conclure qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f'(c)=u$.
Avec la fonction $g$ donnée, ça suggère de prendre $a=0$, il faut donc trouver $b$ tel que $g(b)=u$, je te laisse continuer

Pour information, ce résultat porte le nom de "Théorème de Darboux"


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#3 14-03-2018 12:19:37

Binks
Invité

Re : Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité

Merci beaucoup pour votre réponse et ces informations.

Quelque chose me pose encore question pour les deux premières questions. Si l'on considère le théorème des accroissements finis avec [tex]a = 0[/tex] et [tex]b = 1[/tex] on répond à la question pour l'intervalle [tex]]0,1[[/tex] il me semble et non [tex][0,1][/tex]. Alors si l'on remarque que l'énoncé a posé [tex]g(0) = f'(0)[/tex] pour [tex]g[/tex] par exemple ce qui semble être un prolongement par continuité donc on pourrait avoir le résultat pour l'intervalle [tex][0,1[[/tex]. Mais qu'en est-il en [tex]c[/tex] (ou [tex]a[/tex] selon l'énoncé de la 1)) lorsque celui-ci vaut 1 ? Cela revient à mon interrogation initiale dans la question 1), mais c'est la même chose pour 2) en 0..

Merci encore pour vos précisions supplémentaires.

#4 14-03-2018 13:33:13

Binks
Invité

Re : Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité

Peut être que l'idée est de dire que comme [tex]I[/tex] est un intervalle ouvert contenant [tex]1[/tex], il est possible d'appliquer le théorème des accroissement finis avec l'intervalle [tex]]0,1+\epsilon[[/tex], avec [tex]\epsilon >0[/tex]. Et donc qu'on peut trouver [tex]u[/tex] tel que [tex]u = f'(1)[/tex] ?

#5 14-03-2018 15:02:52

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité

Bonjour,
Je n'ai pas bien compris ta question concernant $[0,1]$ versus $]0,1[$.
Le théorème des accroissement finis appliqué à $[0,1]$ dit :
Si $f$ est continue sur $[0,1]$ et dérivable sur $]0,1[$, alors, il existe $c \in ]0,1[$ tel que $f'(c)=f(1)-f(0)$.

On a $f'(0) \le u \le p$.
Pour le cas $u=f'(0)$, il n'y a rien à montrer.
Pour le cas $u=p=f(1)-f(0)$, cf plus haut.


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#6 14-03-2018 15:47:25

Binks
Invité

Re : Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité

Bonjour,

Merci à nouveau pour ta réponse. Oui j'avais bien compris ce que tu explicites.

En fait, la question demande de trouver [tex]a[/tex] (ou [tex]c[/tex] comme tu le notes) [tex]\in [0,1][/tex]. Or pour moi, ce qui précède permet de le trouver seulement pour [tex][0,1[[/tex], étant donné le TAF qui dit qu'il existe [tex]c \in ]0,1[[/tex]. Autrement dit, que se passe t-il si [tex]c[/tex] vaut 1 puisque si je ne me trompe pas la question demande de l'inclure dans l'intervalle pour lequel [tex]u = f'(c)[/tex]?

L'explicitation doit être très évidente, mais j'avoue que ce point est ambigu pour moi..

Vois-tu ce que je veux dire ?

#7 14-03-2018 16:54:22

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité

La question demande de prouver l'existence de $a \in [0,1]$ tel que $f'(a)=u$
Si tu montres qu'il existe $a \in ]0,1[$ tel que $f'(a)=u$, tu as répondu car, comme $a \in ]0,1[ \subset [0,1]$, alors $a \in [0,1]$.
Personne ne t'a demandé de montrer que $a=1$ pour certaines valeurs de $u$.


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#8 14-03-2018 17:12:27

Binks
Invité

Re : Théorème valeurs intermédiaires sans hypothèse de continuité

Oui merci pour cette réponse, il faut effectivement seulement montrer une implication et non une équivalence..

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