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#1 07-07-2007 18:22:49

yoshi
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Enigme : Un pays magique (suite)

Bonsoir,

Il paraîtrait que cette curieuse coïncidence sert de clef dans une nouvelle d'Isaac Asimov : "A Curious Case of Income Taxe Fraud". Ne la connaissant, je vais essayer de vérifier... En tous cas, autant pour la "geek attitude", cher ami vbnul ! ;-)

Voici donc la suite promise...
Martin Gardner ajoute :
<< David Scott et Jay Beattie on interprété indépendemment l'égalité : 31 OCT = 25 DEC..."
Il faut voir dorénavant :
31 * OCT = 25 * DEC
où O, C, T, D, E, C sont des chiffres de 1 à 9 pour O et D, de 0 à 9 pour les autres, deux lettres différentes pouvant avoir la même valeur...
Saurez-vous trouver une solution ?
Questions subsidiaires :
- Combien de combinaisons différentes sont-elles possibles ?
- La solution trouvée est-elle unique ? Si vous trouvez une réponse hors programmation la gloire vous est acquise ;-)

@+


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#2 08-07-2007 11:23:26

vbnul
Membre
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Messages : 67

Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Les deux C doivent ils représenter le même chiffre ?

Si non, on a 9*10*10 * 9*10*10 = 810 000 possibilités pour les deux nombres.
Et dans ce cas il suffit de constater que 31/25 * OCT = DEC et donc trouver un multiple de 25 supérieur à 100.
Avec 100 on a OCT = 100 et DEC = 31*100/25 = 124.

Si oui, il ne reste plus que 9*10*10 * 9*10 = 81 000 possibilités.
Dans ce cas j'essaierai plutôt de décomposer OCT = 100*O + 10*C + T, de même pour DEC pour obtenir une équation à 5 inconnues mais je ne vois pas encore comment utiliser les restrictions sur ces inconnues (à part en essayant toutes les possibilités).

Voilà pour les évidences.

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#3 08-07-2007 11:54:10

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
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Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Bonjour,

J'aurais dû écrire :

O, C, T, D, E, C sont des chiffres de 1 à 9 pour O et D, de 0 à 9 pour les autres, deux lettres différentes ne [pouvant avoir la même valeur...[/b]

Désolé j'ai oublié le : ne...

Je présente mes plus humbles excuses à tous ceux qui vont être obligés de recommencer leurs calculs ! J'aurais dû être plus attentif...



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#4 08-07-2007 15:52:30

cléopatre
Membre active
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Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Bonjour Yoshi !

J'ai trouvé quelquechose : 31 * 675 = 25 * 837
Avec O=6 ; C=7 ; T=5 ; D=8 et E=3.

J'ai utilisé le théorème de Gauss et j'en ai déduit que oct = k*25 et dec=k'*31 avec k et k' appartenant à N.

Donc d'après l'énoncé et le théorème de Gauss, oct se finit par 25 ou 50 ou 75 (00 exclu car C différent de T)
Après on met tous les multiples de 31 de 3 chiffres et on s'amuse à exclure ceux qui possède deux fois le même chiffre et ceux qui ne finit pas par 2 ou 5 ou 7 car C = 2 ou 5 ou 7. On pourra aussi exclure ceux qui possèdent un 5 alors qui finisse par 2 ou par 7 ou encore ceux où E=0 lorsque C=5.

On se retrouve avec les multiples de 31 suivant :

217 = 7 * 31
372 = 12 * 31
465 = 15 * 31
682 = 22 * 31
837 = 27 * 31

Ensuite j'ai multiplier 7 ; 12 ; 15 ; 22 et 27 par 25 et j'obtient :
7 * 25 = 175
12 * 25 = 300
15 * 25 = 375
22 * 25 = 550
27 * 25 = 675

On exclu les nombres où on a deux fois le même chiffres comme 300 ou encore 550
On exclu les couples OCT/DEC dont le C ne correspond pas comme le couple 375/465
Dans le premier couple 175/217, on a E=O donc d'après l'énoncé on doit l'exclure.

Il reste plus que le couple 675/837. On le teste et on obtient bien :
31*675=25*837
On bien une unique solution qui est le couple OCT/DEC = 675/837 !

Bises de Cléopatre

Dernière modification par cléopatre (08-07-2007 16:09:01)


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#5 08-07-2007 16:56:24

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 15 091

Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Bonjour,


Sonnez fanfare !...
T'auras droit à une sucette en bois ou une médaille en chocolat !  ;-)

Gagné !

Il y a, paraît-il 24192 façons différentes de coder les lettres... La seule preuve de l'unicité de la seule solution, a été donnée par programmation de l'examen systématique de tous les codages possibles (pas très difficile à programmer d'ailleurs).
Il est quand même amusant de constater que ce problème reçoit une double interprétation, fournissant chaque fois une solution...

J'ai plus qu'à extraire une "méchanceté" de mon bouquin... Ca tombe bien, j'en en ai une de côté...Hé ! Hé ! (Même que John, le roi de l' "optimisation" va se régaler, les autres aussi d'ailleurs !!!

Permettez, jeune-fille, que je m'incline bien bas !

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#6 08-07-2007 17:22:05

john
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Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Salutatous,

Je ne voulais pas intervenir sur ce coup là... mais les sources de yoshi m'y obligent.
Sources avec lesquelles je ne suis pas d'accord.
----------------------------------------------------------------
Attention : notations avec petites lettres et grands chiffres !
----------------------------------------------------------------
31*oct = 25 *dec
On commence comme cléo. mais en tirant directement CT par considération des équations :
31*o25 = 25 *de2    est impossible car le 1er membre se termine par 5 et non le second.
31*o50 = 25 *de5    est impossible car le 1er membre se termine par 0 et non le second.
31*o75 = 25 *de7    est donc seule possible.

On réécrit cette dernière égalité en la développant :
31*o00 + 31*75 = 25 *de0 + 25*7
31*o00 + 2150 = 25 *de0     qu'on peut diviser par 10
31*o0 + 215 = 25 *de        qu'on peut encore diviser par 5
31*2*o + 43 = 5*de        qui n'est possible que si 31*2*o se termine par 2 soit o = 1 ou 6

On remplace le chiffre o pour obtenir 2 équations :

o = 1 => 62 + 43 = 105 = 5*de => de = 21 => impossible en raison du chiffre 1 déjà pris pour o.

o = 6 => 372 + 43 = 415 = 5*de => de = 83 => seule solution possible.

Désolé yoshi mais je crois que tu vas devoir envoyer une belle lettre de contestation à ta revue. Inutile de me citer car je ne suis pas connu (mais je gagnerais à l'être ! mdr).

A+

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#7 08-07-2007 18:12:20

cléopatre
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Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Merci Yoshi !!


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#8 08-07-2007 18:15:28

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 15 091

Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Bonjour,

Merci d'intervenir...
Ce soir, j'ai la plus grande difficulté à me concentrer, alors si c'était un effet de ta bonté, pourrais-tu résumer ce que tu contestes ? Parce que la solution donnée par Cleo est exacte : 31 * 675 = 20925 ; 25 *837 = 20925...
Tu as réussi à donner une une preuve de l'unicité de la solution ? C'est ça ?
Si oui, je ne vois pas ce qu'il y a "contester"...  A l'époque, où le livre a été imprimé (3e tr. 1981 chez Brodard et Taupin) personne parmi ceux qui s'étaient intéressés à l'exercice n'avait donné de preuve autre que via programmation, c'est tout...

Mais si c'est bien cela, tu mérites aussi une médaille (FIELDS ?), et, je te le promets, je vais faire l'impossible pour joindre Mr. Martin Gardner, afin de lui demander dans une future ré-utilisation de cette énigme, de bien préciser que (Hosannah au plus haut des cieux !) le 8 juillet 2007, la preuve de cette unicité a été faite sur Bibmath.net par le sieur John, alias... (non, je respecterai ta vie privé)..
Grâce à toi, nous allons jouir d'une renommé mondiale ! :-)
Nous croulerons sous les posts :-(


@+


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#9 08-07-2007 18:40:28

john
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Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Bonsoir yoshi,

Oui, j'ai la même solution que cléo. mais c'est la suite qui m'a fait réagir :

yoshi a écrit :

Il y a, paraît-il 24192 façons différentes de coder les lettres... La seule preuve de l'unicité de la seule solution, a été donnée par programmation de l'examen systématique de tous les codages possibles (pas très difficile à programmer d'ailleurs).

Cléopatre a déjà montré implicitement l'unicité. Je n'ai fait que rajouter une couche avec une solution légèrement différente.
Donc avec le complément d'info. que tu viens de donner, inutile de prendre ta plume.

PS : Pour les difficultés de concentration, ne t'inquiète surtout pas, ça ne va faire qu'empirer avec le temps et je n'ose te conseiller les bananes car tu va m'appeler Dr John !

A+

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#10 08-07-2007 19:09:01

cléopatre
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Messages : 359

Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Rebonsoir Yoshi et John !

En tous les cas Yoshi, je vois que ton bouquin est pleins de petites énigmes simpathiques.

Bises de Cléopatre


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#11 08-07-2007 19:09:46

yoshi
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Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Bonsoir,

J'irais bien me jeter au lac tout de suite, mais ma famille risquerait une forte amende pour pollution...

Bon, après ta réaction, je me suis décidé à relire l'énoncé...
L'honnêteté m'oblige à reprendre le clavier pour apporter une précision...

Il m'est en effet revenu à l'esprit, que, lisant la solution, j'avais crédité le livre d'une erreur de traduction : celle-ci disait en effet que l'équation était unique ce qui avait été montré par examen systématique des 24192 cas.
Je ne vois pas bien ce que ça change et je ne  suis pas dans des dispositions d'esprit propives à la réflexion...
Je me contente donc de cette précision en forme d'erratum éventuel...

Pour changer un peu de formule terminale, je le fais à la 'Francis Blanche" :

Bonjour chez vous !


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#12 09-07-2007 00:18:11

yoshi
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Re : Enigme : Un pays magique (suite)

Re,

Heure très inhabituelle pour moi... Si je vois ! Mais c'est pas très clair !
Faut-il garder oct et dec ? Les nombres peuvent-ils varier seulement entre 1  et 31 ? probablement...,

J'ai tenu à  montrer que ma cécité était passagère ;-)


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