Enigme : le craps

yoshi · 26-06-2007 17:37:16

Bonjour,

Encore une qui plaira à John fin probabiliste devant l'éternel qui ne devra pas trop se presser...
Le jeu de craps ou "passe anglaise" se joue avec deux dés
- Le lanceur obtient 7 ou 11, c'est un "abattage" et le joueur gagne le coup,
- Le lanceur fait un craps (2, 3 ou 12) : il perd
- Le lanceur obtient autre chose : il gagne son "point" et relance de nouveau jusqu'à ce qu'l gagne en refaisant son point, ou perde en obtenant 7 avant de réussir le point.
Un joueur parie que le lanceur (vous) obtiendra un 8 avant de faire 7... vous acceptez.
Ce joueur parie ensuite que le lanceur (vous) obtiendra 6 avant de faire 7... vous acceptez.
Mais ce même joueur parie ensuite, contre une mise bien plus élevée, que le lanceur (vous) tirera un 8 et un 6 avant de faire deux 7.
Auriez-vous raison, en terme de probabilités d'accepter encore ?

@+

john · 26-06-2007 20:26:09

Merci du conseil, donc je ne vais pas me presser et essayer de ne pas écrire trop de "craps".
A+

François Pignon · 27-06-2007 10:28:23

Damien ,un résonement complexe rejoint souvent la "simplitude "en effet , certaines cloches résonnent mieux et plus longtemps que des t^tes bien faîtes , donc tu as de beaux jours devant toi.
Pour les autres ,les bons mots d'Herodote n'étaient-ils pas les craps de l'époque ?
après les honneurs... la déchéance ...

navaro damien · 29-06-2007 10:43:13

Merci pour tous ses compliments , je te renvois la politesse :
Il y a aussi bien des martaux qui s'ils n'étaient pas attachés à l'élément maître
n'obtiendraient jamais à la cognée :ni la noblesse,ni l'éclat,
ni la brillance qui impose la génuflexion.

john · 29-06-2007 12:55:10

Bonjour,
Pour répondre à la question posée par yoshi :
A priori, et après réflexion approfondie, je ne prends pas le pari d'obtenir deux fois 7 avant d'obtenir 6 et 8.
A+

yoshi · 29-06-2007 14:07:23

Salut John,

Tu le sais je ne suis pas compétent pour discuter des probabilités...
Je livre donc le commentaire -du bouquin- suivant :

<<C'est alors que se situe l'escroquerie: Le parieur, qui s'était présenté comme un naïf, prend alors le pari que le lanceur fera un 8 et un 6 avant de faire deux sept .
Le pari semble être identique aux deux précédents, mais en fait les chances de réussite sont maintenant plus importantes pour le parieur que le lanceur...>>

Reste maintenant aux lecteurs à étayer cette argumentation par des chiffres.

@+

john · 29-06-2007 14:31:27

Hello,
Effectivement Yoshi, j'ai failli tomber dans le piège que (si j'ai bien compris) tu ne m'as pas tendu (car ce problème de proba. semble (?) te dépasser).
Tel le renard, je flairais l'embrouille mais (merci yoshi !) je me suis quand-même payé une bonne soirée de révision de Markov et autres Pascal (ou Pascaux s'il faut accorder) avant de découvrir toute la simplicité du problème.
Aussi te ferai-je part de la solution dès que tu auras résolu un problème que tu as enterré "les poignées de main"... qui sont une bonne transition pour dire :
A bientôt j'espère.

yoshi · 29-06-2007 19:30:32

Salut,

D'après mon bouquin, c'est une arnaque classique... Alors, même si je n'avais que très peu de chances de te piéger cher John, j'ai couru ma chance quand même...
Bah, je recommencerai ! :-)
Donc, j'avoue : si ! si ! J'ai quand même essayé de t'attraper. Dame ! Un si fin connaisseur des probas... Mais ton flair t'a dit, à juste titre, que c'était trop simple pour être réellement honnête...
Le bouquin me donne les probas, explique vaguemenr pourquoi c'est une arnaque, mais sans le détail des calculs...
Or, j'avais aussi dit que lorsque j'aurai du temps devant moi (et ce temps est proche), je m'efforcerai de panser cette plaie béante !

Je plaide coupable : ton problème des poignées, par la faute de mon subconscient, avait été expédié dans les oubliettes de l'Histoire... J'ai recherché ton post qui l'exposait, mais sans le retrouver...
Je fatigue !
Je vais re-chercher...

@+

john · 29-06-2007 21:44:30

Bonsoir yoshi,

Comme tu sais (et es autorisé à) déplacer les messages, il serait peut être plus simple d'ouvrir un nouveau fil avec le message #6 de la chèvre...
Indication : il n'y a pas de piège et bien que d'un niveau seconde... terminale, j'ai trouvé la démo. astucieuse.
A+

john · 30-06-2007 10:23:36

Hello,
Pour se recentrer sur le craps, voici un tout premier indice qui mène à la solution de l'énigme :
Au cours d'une partie, on ne peut obtenir qu'une seule fois 7 (soit 7 gagnant par abattage, soit 7 perdant au point).
Le pari, qui met en jeu deux 7, porte donc sur les sommes obtenues au cours de plusieurs parties successives.
A+

john · 01-07-2007 01:16:58

Bonjour,
Voici un autre indice pour résoudre cette énigme :
Une partie de craps évolue en fonction des sommes obtenues successivement à chaque jet de dés et se termine soit gagnée par abattage ou au point, soit perdue. Mais inversement, les résultats des jets successifs, indépendants les uns des autres, ne dépendent pas de l'évolution des parties.
Pour s'en rendre compte, il suffirait d'enregistrer les sommes obtenues au cours d'une séquence de 100 jets par exemple, puis de jouer au craps "en différé" avec la suite de sommes enregistrées. Les résultats des parties seraient rigoureusement identiques à un jeu effectué pendant l'enregistrement.
A suivre.

Dernière modification par john (01-07-2007 20:49:15)

john · 01-07-2007 14:05:54

Diable ! Ce fil n'inspire guère les chercheurs...
Nouvel indice :
Il en est de même des paris, comme des parties et donc l'issue des paris pourrait également être déterminée en différé. En conclusion, l'énigme peut se poser simplement, en éliminant complètement le jeu de craps destiné à tromper l'adversaire parieur.
--------------------
Le lanceur jette 2 dés simultanément autant de fois qu'il veut et fait la somme des points obtenus à chaque jet.
Un joueur parie que le lanceur (vous) obtiendra un 8 avant de faire 7... vous acceptez.
Ce joueur parie ensuite que le lanceur (vous) obtiendra 6 avant de faire 7... vous acceptez.
Mais ce même joueur parie ensuite, contre une mise bien plus élevée, que le lanceur (vous) tirera un 8 et un 6 avant de faire deux 7.
Auriez-vous raison, en terme de probabilités d'accepter encore ?
--------------------------
A+

Dernière modification par john (01-07-2007 14:07:01)

cléopatre · 01-07-2007 14:49:16

Oula je viens a peine de lire le message, c'est assez stagnant ici je vois...

- Si j'ai bien compris le joueur parie contre le lanceur.

---------------------------------

Alors pour faire 7, on peut faire 1 et 6 ; 2 et 5 ; 4 et 3
Pour faire 8 on puet faire : 2 et 6 ; 3 et 5 ; 4 et 4
Et pour faire 6 on peut faire : 1 et 5 ; 2 et 4 ; 3 et 3

--------------------------------

Alors la probabilité d'obtenir un 7 est : 6/66 = (3*(1/36+1/36))
La pobabilité d'obtenir un 6 est : 5/36 = 2/36+2/36+1/36
La pobabilité d'obtenir un 8 est : 5/36 = 2/36+2/36+1/36
En terme de probabilité, il est effectivement bon d'accepter les deux premier paries.

--------------------------------

Voyons pour le troisième parie :

Pour chaque lancer, obtenir un 7 ne change rien donc on aura bien 6 chance sur 36 d'obtenir un 7.
Par contre, la probabilité d'obtenir soit un 6, soit un 8 doit être plus grande...
Pour faire un 6 ou un 8 : 2 et 6 ; 3 et 5 ; 4 et 4 ; 1 et 5 ; 2 et 4 ; 3 et 3
Donc la probabilité d'obtenir 8 ou 6 est de 10/36

---------------------------

Pour pouvoir comparer les deux probabilité, je compare la probabilité d'obtenir deux 7 d'affilé et la probabilité d'obtenir un 8 et un 6 d'affilé (ou un 6 et un 8 d'affilé biensur):

La probabilité d'obtenir un 8 et un 6 à la suite est de : 10/36 * 5/36 = 50/1296
La probabilité d'obtenir de 7 à la suite est de : 6/36*6/36 = 36/1296

D'après cette comparaison, on voit bien qu'en termes de probabilité, il n'a pas raison d'accepter...

Voilà sauf erreur de ma part, mon raisonnement me parait cohérent, à plus

yoshi · 01-07-2007 16:19:49

Bonjour,

Je vais te donner une réponse qui n'est pas la mienne, mais celle de Martin Gardner qui a tenu (tient encore ?) une rubrique "Jeux Mathématiques" dans la revue "Scientific American"...

<<Si le parieur avait spécifié l'ordre des deux nombres, d'abord le 6 (ou le 8) les probabilités auraient encore été contre lui. Mais puisque le lanceur peut tirer n'importe quelle somme en premier, le parieur a une probabilité de gagner de 4225/7744, ou 0,546, soit légèrement plus de 1/2. >>

Voilà, je n'en sais pas plus et suis bien incapable de de te dire comment il a obtenu cette probabilité

Seul John pourra nous dire rapidement ce qu'il en est, et dissiper les nuées...

@+

john · 01-07-2007 16:30:20

Salut cléopâtre,
D'abord félicitations pour ton bac et ton entrée aux Eu_k ou Masséna ou ????
Bon début pour le craps mais tu as encore besoin d'un peu d'aide.
Le premier pari, qui laisse le choix entre 7 et 8, sera effectivement en faveur d'une mise sur 7. En effet, on a Pr(7) = 6' et Pr(8) = 5' (où je note 6' = 6/36).
C'est la même chose pour le pari qui laisse le choix entre 6 et 7.
Pour la suite, tu te limites à 2 jets successifs or il n'y a rien de tel dans l'énoncé.
Par exemple, la suite de sommes {4,11, 6, 7, 5, 9, 9, 7, 8} est à l'avantage du pari sur les deux 7. Mais cette suite est-elle plus probable ou moins probable que la suite {4, 11, 6, 7, 5, 9, 9, 8, 7} qui est à l'avantage du pari sur 6 et 8 ?
Il te faut donc trouver une méthode qui permette de comparer ces 2 suites (mais aussi TOUTES les autres suites possibles) en termes de probabilité.
Indication
La probabilité P7(n) de l'événement "Obtenir 7 uniquement au n-ième jet", est donnée par la loi de Pascal : P7(n) = 6'.(1 - 6')^(n-1) très facile à comprendre puisqu'elle traduit simplement la probabilité des événements "ne pas obtenir 7 au cours des n-1 premiers jets" ET "Obtenir 7 au n-ième jet". De même P6(n) = 5'.(1 - 5')^(n-1).
Faire r = 1 dans le texte : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ascal.html
A+

Dernière modification par john (01-07-2007 22:52:20)

john · 01-07-2007 22:49:11

Bonsoir yoshi,
nos messages ont dû se croiser car je viens seulement de voir ta réponse :

yoshi a écrit :

<<Si le parieur avait spécifié l'ordre des deux nombres, d'abord le 6 (ou le 8) les probabilités auraient encore été contre lui. Mais puisque le lanceur peut tirer n'importe quelle somme en premier, le parieur a une probabilité de gagner de 4225/7744, ou 0,546, soit légèrement plus de 1/2. >>

qui diffère de la mienne (et donc me semble farfelue !!! Ah, ce john... décidément incurable !).
En fait, il y a une raison bien simple à cela, je ne parierais pas une "très grosse somme d'argent" avec seulement cette proba. de gagner. Si ce jeu est une arnaque (et c'en est une belle, quasiment comparable au bonneteau), la proba. de gagner doit dépasser 2/3.
Mais je vais quand-même essayer de trouver l'origine de ce 0,546 avant de donner ma réponse.
A+

john · 02-07-2007 11:41:52

Hello,
Heu... effectivement, le calcul est bon mais un peu compliqué. On a bien une proba. de 0,546 de perdre, face à cet arnaqueur. Je laisse donc encore un peu de temps (et un indice caché) à cléopatre pour qu'elle donne une solution plus simple.
Avec 1000 paris par jour (*) et une mise de 10 € par pari, notre arnaqueur se fait quand-même 912 € net par jour. Pas mal du tout !!!! Non, ce n'est pas une incitation à...
(*) A 10 heures par jour, ça fait environ 1 pari toutes les 36 secondes et avec 7 jets en moyenne par pari, il faut jeter les dés toutes les 5 secondes... quel travail pénible.
A+

Attention modif.
840 devient 912
Cette fois le fisc va s'y intéresser.
A+

Dernière modification par john (02-07-2007 17:28:24)

cléopatre · 02-07-2007 12:07:40

Moi je sai que 0.546 = (65/88)² mais après la c'est un indice qui mérite un minimum de réflexion... lol

Je voudrais dire que tous les membres doivent être solicité. C'est dommage que peu de gens soit interressé par des problèmes de leur niveau... C'est ma génération, c'est bien triste. Hihi

Personnellement, je vais me lancer sur le calcul de la probabilité d'obtenir le deuxieme 7 au (n+1)ieme coups sans avoir sorti de 8, 6 avant..

Dernière modification par cléopatre (02-07-2007 12:11:47)

cléopatre · 02-07-2007 13:36:03

Sa y est ! Je crois que j'y suis...presque on va dire.

Alors reprenons pour le troisième parie.
---------------------------
INTRODUCTION:

On calcule la probabilité de d'obtenir un deuxiième 7 au (n+1)ième coup sans avoir sorti de 8,6 avant (comme je l'ai dit dans le dernier message)
Pour cela il faut qu'au nième coup, on ait déjà un total de 7.
Cependant, il y aura 3 cas de figure pour le nième coup :
-pas de 8 ni de 6 sorti (Pa)
-des 6 mais pas de 8 (Pb)
-des 8 mais pas des 6 (Pc)
Or Pr6=Pr8 donc Pb=Pc
-----------------------------
NOTATIONS :

On rappelle que n est le nombre de coups avant la sorti du deuxième 7 (n+1)
m : probabilité d'obtenir 7
p : probabilité d'obtenir 8 ou encore probabilité d'obtenir 6
o : prob obtenir ni 6 ni 7 ni 8.

Remarque : On a m+o+2n=1.
-------------------------------
CALCULS:

Pa est le fait d'obtenir ni 8, ni 6, ni 7 sauf une et une seule fois le 7 :
[tex]P_a= n m o^{n-1}[/tex]

Pb est plus complexe. On peut faire un 8 comme 2*8, comme 5*6 :
[tex]P_b=nm[C_{n-1}^0o^0p^{n-1}+C_{n-1}^1o^1p^{n-2}+...C_{n-1}^{n-2}r^{n-2}p][/tex]
ou encore plus simple [tex]Pb=np[(o+p)^{n-1}-o^{n-1}][/tex]
[Pour ce calcul, si quelqu'un désire des explications, je lui en donnerai mais là je n'ai pas envie de trop détailler.]
--------------------------------
VERS LE CALCUL FINAL:

La probabilité d'obtenir un double 7 avant au coup n+1 est :
[tex]p(P_a+P_b+P_c)=p(P_a+2P_b)=nm^2[2(o+p)^{n-1}-o^{n-1}][/tex]

Il suffit de sommer cette expression de n=1 à l'infini et ça donne
[tex]\frac{2m^2}{(1-(o+p))^2}-\frac{m^2}{(1-o)^2}[/tex]
En remplaçant par les valeurs :
m=6/36
p=5/36
o=20/36

On obtient : 72/121 - 9/64 ou encore 6²*(2/11² - 1/16²) = 0.454 !!!
Or 1-0.454=0.546 !!
--------------------------------
MESSAGE DE FIN :

Je pense que sa me donne bien le bon résultat.
Si vous voulez des précisions vu que je n'ai pas trop détaillé car il est 1h42 exactement...
à bientôt ;)

Dernière modification par cléopatre (05-07-2007 13:52:47)

john · 02-07-2007 13:46:34

C'est aussi 0.546 = 1 - 6².(2/11² - 1/16²).
Bon courage, mais n'oublie pas de réfléchir à une solution plus sioux, dans les concours, c'est souvent ce qui fait la différence. Quand on compare les corrections et les solutions qu'on a proposées, quelle déception...
A+
PS : Je t'ai envoyé un message perso. hier, mais je n'ai aucune idée de son point de chute. J'aimerais répondre aux questions que tu te poses sur µ-soft...

Dernière modification par john (02-07-2007 17:14:44)

yoshi · 02-07-2007 16:33:53

Bonjour,

Et bien, John, voilà qui éclaire de façon intéressante le mécanisme de l'arnaque... !
Difficile, bien plus que je ne l'imaginais, de ne pas tomber dans le panneau et... assez juteux pour l'arnaqueur...
Selon Martin Gardner, dans le petit monde des accrocs aux jeux d'argent, c'est une arnaque classique et d'autant plus vacharde qu'elle a l'air bien innocente...

@+

john · 02-07-2007 22:50:19

Effectivement yoshi, belle arnaque.
D'ailleurs, si, comme je l'ai dit sottement, la proba. de perdre était de 2/3, il n'y aurait plus personne pour miser dès le deuxième jour. En revanche avec une toute petite différence de proba. et sachant que les gens qui gagnent font beaucoup de pub. et que ceux qui perdent s'écrasent, le jeu peut survivre très longtemps.
J'attends avec impatience le résultat de la jeune et brillante cléopatre...
A+

cléopatre · 03-07-2007 01:44:36

john a écrit :

J'attends avec impatience le résultat de la jeune et brillante cléopatre...

J'en suis flatté.
J'ai répondu à la question au message précédent.
J'espère que la réponse est assez claire pour que vous comprenez mon raisonnement.
Maintenant, avant d'allez me coucher, je vais tenter de résoudre le problème de la table ronde de Yoshi.

A bientôt !

Dernière modification par cléopatre (03-07-2007 01:44:52)

john · 03-07-2007 11:36:42

Bonjour,

[Remarquable cléo. ! J'ai trouvé ce calcul assez pénible et à 17 ans je ne me serais certainement pas lancé.]

Voici plus simple pour résoudre la question sur le 3ème pari et qui était :

yoshi a écrit :

Auriez-vous raison, en terme de probabilités d'accepter encore ?

On ne demande pas de calculer explicitement la probabilité pour étayer le choix.
Le lien déjà donné :
http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … ascal.html
fournit la formule de l'espérance du nombre moyen de jets pour obtenir 2 fois 7
E[2 fois 7] = 2.(36/6) = 12.
On a de même E[6] = E[8] = 36/5 = 7,2.
Conclusion
Il suffira d'environ 7 jets en moyenne pour voir apparaître un 6 ET un 8 (en ordre qcq) alors qu'il en faudra 12 pour voir apparaître 2 fois 7.
On voit aussi que pour obtenir 6 et 8 dans un ordre donné, le nombre moyen de jets sera de 14,4. Et dans ce cas, le choix repasse à l'avantage de 2 fois 7.

Note : La formule de l'espérance est le résultat d'une somme infinie telle que celle effectuée par cléopatre.

A+

cléopatre · 03-07-2007 13:09:58

C'est vrai, félicitation !

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-06-2007 17:37:16

Enigme : le craps

#2 26-06-2007 20:26:09

Re : Enigme : le craps

#3 27-06-2007 10:28:23

Re : Enigme : le craps

#4 29-06-2007 10:43:13

Re : Enigme : le craps

#5 29-06-2007 12:55:10

Re : Enigme : le craps

#6 29-06-2007 14:07:23

Re : Enigme : le craps

#7 29-06-2007 14:31:27

Re : Enigme : le craps

#8 29-06-2007 19:30:32

Re : Enigme : le craps

#9 29-06-2007 21:44:30

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#10 30-06-2007 10:23:36

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#11 01-07-2007 01:16:58

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#12 01-07-2007 14:05:54

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#13 01-07-2007 14:49:16

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#14 01-07-2007 16:19:49

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#15 01-07-2007 16:30:20

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#16 01-07-2007 22:49:11

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#17 02-07-2007 11:41:52

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#18 02-07-2007 12:07:40

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#19 02-07-2007 13:36:03

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#20 02-07-2007 13:46:34

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#25 03-07-2007 13:09:58

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