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#1 06-11-2016 13:43:47

louise
Invité

Besoin d'aide pour un DM de maths

Bonjour,
J'ai un devoir maison de maths et je n'arrive pas a traiter plusieurs question de cet exercice:

1)Déterminer les chiffres a tel que le nombre d’écriture décimale
123a4 soit divisible par 12.
J'ai trouvé 2 et 8.


2) Soit x un nombre à (au plus) deux chiffres.Montrer que le nombre à (au plus) six chiffres obtenu en juxtaposant trois fois x
est divisible par 37.

J'ai pensé a une disjonction des cas entre un nombre a trois chiffres et un à 6 chiffres.
Seulement je n'arrive pas a traiter le cas avec 6 chiffres.


3) Soit n un entier pair. Montrer que n + 1 divise la somme de k=1 jusqu'à n de k^(n+1).

J'ai pensé a utiliser le fait que n+1 est impair et donc que la somme est impaire mais après je me retrouve à nouveau bloquée.


4) Déterminer tous les entiers n ∈ N* tels que 7 divise n^(n) − 3.

J'ai trouvé n=5 Mais je ne suis pas totalement sure


5) Déterminer tous les entiers n ∈ N* tels que 49^n + 5^n + 3 est congru à 0[57].

Alors pour cette question j'ai essayé pleins de choses mais rien n'a fonctionné. J'ai essayer de partir de 3 modulo 57 ou encore de faire quelque chose avec le fait que 49=7^2 mais ça n'a rien donné.
Voila si jamais vous avez l'envie de vous plonger dans cet exercice de maths surtout n'hésitez pas  :D
Bonne après midi et merci par avance pour votre réponse

#2 06-11-2016 16:45:46

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

Bonjour Louise.

Pour le 2) tu peux diviser 10101 par 37.

Ostap Bender.

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#3 06-11-2016 16:51:52

louise
Invité

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

merci mais on nous demande la cas général et non pas un cas particulier :)

#4 06-11-2016 16:57:16

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

Regarde un autre cas particulier, disons 42
Peux-tu diviser 424242 par 10101 ?

Ostap Bender..

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#5 06-11-2016 19:17:39

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

Bonsoir,
Les difficultés des questions de ce DM sont vraiment inégales.
Les deux premières questions sont accessibles. Les autres me semblent utiliser des concepts avancés de l'arithmétique modulaire.
Tu es à quel niveau ?

P.S. Pour le 2), si $0\le x,y\le 9$ sont deux chiffres, juxtaposer 3 fois le nombre $\overline{xy}^{10}$ peut s’écrire simplement comme :
$\overline{xyxyxy}^{10} = (10x+y)10^4 + (10x+y)10^2 + (10x+y)$. Je te laisse trouver pourquoi c'est divisible par $37$.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#6 06-11-2016 19:35:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

Re,

J'ai eu tort de le déplacer vers Collège/Lycée : c'était avant son doublon 4 h plus tard où elle signalait DM de MPSI...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#7 06-11-2016 19:36:33

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 1 105

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

salut.

pour la question 1 :
12 = 3 x 4  . Ains  123a4 doit être divisible par 3 d'abord , et la somme de ses chiffres est divisible par 3 pour a = 2 , 5 & 8
on abandonne 5 car 54 n'est pas congru à 0 (mod 4) , alors que 12300 l'est.
par contre 24 et 84 le sont aussi.  alors  12324 et 12384 sont les seules solutions pour la division par 12.

pour la question 2 :
soit le nombre ababab : ce nombre est égal à:   ab0000 + ab00 + ab = ab00 x 10000 + ab x 100 + ab  = ab x 10101 = ab x 37 x 273
il y a donc 99 solutions pour le couple ab différent de zéro .    00 < ab < 100

pour la question 3 :  on sait que [tex] a^p   \equiv a \mod [p]  [/tex]

donc  [tex]  k^{n+1}  \equiv k \mod [n+1] [/tex] .
si on applique cette propriété à tous les nombres  de 1 à n affectés du même exposant (n+1) , puis en les sommant .

[tex]  1^{n+1} + 2^{n+1} + ..+ (n-1)^{n+1} + n^{n+1} \equiv (1 + 2 +..+(n-1) + n)\mod [n+1] \equiv \frac{n.(n+1)}{2}\mod [n+1] \equiv 0\mod[n+1][/tex]
puisque  n est pair et que n/2 est un entier.

Dernière modification par jpp (06-11-2016 19:40:12)

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#8 06-11-2016 19:43:09

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

@jpp : Pour le petit théorème de Fermat, ce n'est valable que pour $p$ premier et $a$ premier avec $p$ non ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#9 06-11-2016 19:48:11

louise
Invité

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

bonsoir,
merci pour vos réponses je vais essayer tout ca :)

#10 06-11-2016 19:56:49

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 1 105

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

re.

@Yassine , oui tu as raison , je suis allé un peu vite .

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#11 06-11-2016 21:41:38

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

Pour le 3) Regarder ce qui se passe lorsqu'on écrit la somme en commençant par la fin.

Pour le 4) Raisonner modulo 42.

Pour le 5) Raisonner modulo 3 et modulo 19.

Ostap Bender.

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#12 07-11-2016 09:33:14

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 1 105

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

salut.

pour la question 3 :   n est pair , donc  n+1 = a   ;  a  est donc l'exposant  impair. Et nous avons  n termes à sommer .

En les associant comme ceci :  (1  , a-1) , (2 , a-2) , (3 , a-3) ....

1) exemple avec a = 3  , on a un seul produit puisque et k = 1 , a = 3  ;  ce qui donne

[tex] 1^3 + 2^3 [/tex]  à sommer

  [tex]  k^3  + (a - k)^3  =  (k + a - k).(a^2 - 3ak + 3k^2) = a.P = (n+1).P[/tex] .   puisque  a = n+1 .
on voit que tous les termes multipliés par k s'annulent . Donc il est facile de trouver le polynôme P

2) exemple avec a = 5

  [tex]  k^5  + (a - k)^5  =  (k + a - k).(a^4 + 4k^4 - 6a.k^3 + 6a^2.k^2 - 4a^3.k) = a.P = (n+1).P[/tex]
on somme dans ce cas avec k allant de  1 à 2 puisque n = 4
ce qui donne  [tex] (1^5 + 4^5 )  +  (2^5 + 3^5) =  1025 + 275 = 1300 = 5 \times 260[/tex]

sauf erreur , et le petit théorème de Fermat n'intervient pas .

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#13 07-11-2016 10:14:06

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Besoin d'aide pour un DM de maths

Oui, Ostap avait en effet donné l'indication.
$(a-b)^{2k+1} + b^{2k+1}$ est divisible par $a$.
C'est à peu de choses près l'astuce de Gauss enfant pour trouver la somme des $n$ premiers entiers !


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