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#1 16-10-2016 15:00:10

Terces
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Messages : 466

Continuité

Bonsoir,
Pour montrer qu'une fonction du type :

f(x,y)=...     si (x,y) différent de (0,0)
f(x,y)=0      si (x,y)=(0,0)

est continue en (0,0) est-ce que on a la droit de regarder la limite de f(x,x) quand x tend vers 0 (ce qu'on utilise pour montrer qu'elle n'est continue) plutôt que la limite de f(x,y) quand (x,y) tend vers (0,0) ?


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#2 16-10-2016 15:28:47

freddy
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Inscription : 27-03-2009
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Re : Continuité

Salut,

ben non, faut que tu regardes pour les deux variables distinctes (à l'époque, on disait "dans toutes les directions"). Par contre, tu es libre du moyen de démontrer qu'elle n'est pas continue à l'origine.
C'est quoi, l'expression analytique de f ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 16-10-2016 15:37:25

Terces
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Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Continuité

Re,

C'était pour cet exercice : http://www.bibmath.net/ressources/justeunexo.php?id=130
je l'avais fait en regardant x et y distinctes puis j'ai vu que en prenant x=y ca se faisant plus vite mais apparemment ce n'est pas une méthode correcte :(

Est-ce que tu aurais un exemple dans lequel prendre x=y donnerait un résultat faux ?


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#4 16-10-2016 16:35:52

Yassine
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Messages : 1 090

Re : Continuité

Exemple :

\begin{array}{rcl}
(x,y)&\mapsto&\frac{\ln(\frac{x^2+1}{y^2+1})}{x^2+y^2}\textrm{ si $(x,y)\neq (0,0)$}\\
(0,0)&\mapsto&0.
\end{array}

--EDIT--
Décidément, je commet plein d'erreurs: Je pensais $\ln(1)=1$ !!
Maintenant, c'est corrigé :
le long de la droite $x=y$, la fonction est identiquement nulle, donc on trouve que c'est continue.
En dehors de $x=y$, elle explose au voisinage de $(0,0)$

Dernière modification par Yassine (16-10-2016 17:40:30)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#5 16-10-2016 16:48:19

Terces
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Inscription : 16-07-2015
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Re : Continuité

Salut,
Je ne vois pas le problème ?
On obtient le même résultat en considèrent x=y non ? ca tend vers l'oo en (0,0).


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#6 16-10-2016 17:01:12

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 443

Re : Continuité

Terces a écrit :

Re,

C'était pour cet exercice : http://www.bibmath.net/ressources/justeunexo.php?id=130
je l'avais fait en regardant x et y distinctes puis j'ai vu que en prenant x=y ca se faisant plus vite mais apparemment ce n'est pas une méthode correcte :(

Est-ce que tu aurais un exemple dans lequel prendre x=y donnerait un résultat faux ?

La méthode utilisée par la solution est parfaite, celle que tu penses être plus rapide est fausse, puisque [tex]y=x[/tex] est un cas parmi tellement d'autres. Pour t'en convaincre, prends le cas [tex]y=\lambda x[/tex]
avec [tex]\lambda[/tex] réel non nul.
Ta fonction devient [tex]f(x,\lambda x)=\lambda x^2\frac{x^2(1-\lambda^2)}{x^2(1+\lambda^2)}= \lambda x^2\frac{(1-\lambda^2)}{(1+\lambda^2}[/tex].

Ton hypothèse revient à poser [tex]\lambda = 1[/tex], et donc [tex]f(x,x) = 0[/tex]   quel que soit x !!! Donc tu n'as strictement rien démontré.
Par contre, tu peux faire tendre [tex]\lambda[/tex] vers 0, et là ... !

Dernière modification par freddy (16-10-2016 19:40:31)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#7 16-10-2016 18:09:21

Terces
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Inscription : 16-07-2015
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Re : Continuité

Ok c'est compris merci.


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