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#1 03-10-2016 21:56:17
- tina
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Construction d'une suite régularisante
Bonjour
Une suite régularisante est une suite de fonctions [tex](\varphi_j)[/tex] de [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)[/tex] telle que: [tex]\forall j \in \mathbb{N},\ \varphi_j \geq 0[/tex], [tex]\int_{\mathbb{R}^n} \varphi_j(x) dx =1[/tex] et [tex]\mathrm{Supp\,} \varphi_j[/tex] est inclus dans [tex]B(0,r_j)[/tex] tel que [tex]r_j \to 0[/tex] quand [tex]j \to +\infty.[/tex]
Comment construit-on une suite régularisante ?
Merci par avance.
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#2 03-10-2016 23:03:07
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 049
Re : Construction d'une suite régularisante
Bonsoir,
Il suffit d'une fonction $\phi$ qui est à support dans $B(0,1)$, est de classe $C^\infty$, est positive ou nulle, et vérifie $\int_{\mathbb R^n}\phi(x)dx=1$. On construit alors la suite régularisante en "dilatant" (ou plutôt en contractant) cette fonction $\phi$. Par exemple, on peut poser
$$\phi_j(x)=\frac{1}{j ^n}\phi(jx).$$
La construction d'une telle fonction $\phi$ est un exercice classique (on parle de fonction plateau...). Par exemple, en dimension 1, la fonction définie par $\phi(x)=\exp(-1/(1-x)^2)$ si $x\in ]-1,1[$, et $\phi(x)=0$ sinon, convient (à condition de la multiplier par une constante pour que son intégrale soit égale à 1...).
F.
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#3 03-10-2016 23:45:16
- tina
- Membre
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- Messages : 285
Re : Construction d'une suite régularisante
1. Justement, je ne comprend pas le lien entre les suites de fonctions régularisantes et les suites de fonctions plataux. C'est quoi le lien? S'il vous plaît.
2. Dans tous les livres, je trouve l'exemple [tex]\phi(x)= exp(-1/(1-x)^2)[/tex]. Pourquoi spécialement ce choix? Il n'y en n'a pas d'autres?
Merci par avance.
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#4 04-10-2016 06:45:04
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 049
Re : Construction d'une suite régularisante
1. Si tu pars de $\phi$ avec les propriétés que je t'ai données ci-dessus, c'est à peu près évidemment que la suite $\phi_j$ que je t'ai donnée est une suite régularisante. Le support de $\phi_j$ est contenu dans la boule $B(0,1/j)$, et l'intégrale vaut 1 par changement de variables.
2. C'est le choix le plus facile! Mais on pourrait en imaginer d'autres....
F.
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#6 05-10-2016 13:31:50
- Fred
- Administrateur
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Re : Construction d'une suite régularisante
Re-
L'intérêt, c'est de... régulariser!
Par exemple, cela permet d'approcher n'importe quelle fonction de $L^p$ par une fonction de classe $C^\infty$ (lire ceci par exemple).
F.
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#7 05-10-2016 20:17:34
- tina
- Membre
- Inscription : 27-03-2014
- Messages : 285
Re : Construction d'une suite régularisante
Ca veut dire que une fonction [tex]L^p[/tex] n'est pas forcément de classe [tex]C^\infty[/tex], elle est juste de classe [tex]C^0[/tex]. Mais si on la convole avec une suite régularisante, on obtiens une fonction de classe [tex]C^\infty[/tex]. C'est ca? (en fait le produit de convolution entre une fonction et une suite nous donne une fonction? Ou une suite?)
Merci beaucoup.
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#8 05-10-2016 21:28:35
- Fred
- Administrateur
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Re : Construction d'une suite régularisante
Une fonction $f$ de classe L^p peut ne peut pas être régulière du tout (même pas continue...).
Mais quand tu la convoles avec une fonction $C^\infty$, tu obtiens une fonction $C^\infty$. Et si ta fonction
$C^\infty$ est un élément d'une suite régularisante $(u_n)$, alors la suite de fonctions $(f\star u_n)$ converge dans $L^p$ vers la fonction $f$.
F.
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#9 06-10-2016 12:31:01
- tina
- Membre
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- Messages : 285
Re : Construction d'une suite régularisante
C'est le produit de convolution d'une suite [tex]C^\infty[/tex] et une fonction [tex]L^p[/tex] qu'on appelle approximation de l'unité? Le nom "approximation de l'unité" réfère à quoi?
Merci beaucoup
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#10 06-10-2016 13:03:40
- Ostap Bender
- Membre
- Inscription : 23-12-2015
- Messages : 242
Re : Construction d'une suite régularisante
Il n'existe pas de fonction qui soit neutre pour le produit de convolution, donc on cherche une suite [tex](f_n)[/tex]de fonctions qui donne à la limite
[tex]f_n * g \to g[/tex], pour toute fonction [tex]g[/tex].
Ostap Bender
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#12 06-10-2016 14:53:29
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 049
Re : Construction d'une suite régularisante
Une éventuelle fonction unité $f$ vérifierait $f\star g=g$ pour toute fonction $g$.
Comme l'a dit Ostap Bender, une telle fonction n'existe pas.
La suite $(f_n)$ est une "approximation de l'unité" au sens où $f_n\star g\to g$...
F.
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#14 06-10-2016 15:20:48
- Fred
- Administrateur
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Re : Construction d'une suite régularisante
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#16 12-10-2016 14:38:26
- tina
- Membre
- Inscription : 27-03-2014
- Messages : 285
Re : Construction d'une suite régularisante
La définition d'une fonction plateau est la suivante: c'est une fonction de classe [tex]C^\infty[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Soit un compact K et soit un ouvert U tel que K est inclus dans U.
On dit d'une fonction[tex] f[/tex] qu'elle est plateau, si
1. le support de [tex]f[/tex] est inclus dans[tex] U[/tex]
2. [tex]\forall x: 0 \leq f(x) \leq 1[/tex]
3.[tex] \forall x \in K: f(x)=1[/tex]
1. Comment est définie une "suite" de fonctions plateaux?
2. Est-ce qu'il y a une relation directe entre une suite régularisante et une suite defonctions plateaux?
Merci beaucoup.
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#19 12-10-2016 20:30:40
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 049
Re : Construction d'une suite régularisante
Non, parce qu'il faut renormer la fonction plateau pour que cela fonctionne...
Mais si $\phi$ est une fonction plateau avec par exemple $K=[-1,1]$ et $U=]-2,2[$, alors la suite
$(\phi_j)$ définie par $\phi_j(x)=\frac{1}{j\int_{\mathbb R}\phi(x)dx}\phi(jx)$ est une suite régularisante.
F.
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