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#1 10-09-2016 17:16:53

Terces
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Primitive

Bonsoir,
Pour calculer les primitives de fonctions du type [tex]\frac{1}{x^2+ax+b}[/tex] on peut mettre [tex]x^2+ax+b[/tex] sous sa forme canonique puis faire un changement de variable et se ramener à calculer une primitive de [tex]\frac{1}{y^2+c^2}[/tex] qui vaut [tex]\frac{arctan(\frac{y}{c})}{c}[/tex]. Le problème c'est que je n'arrives pas à montrer que [tex]\frac{arctan(\frac{y}{c})}{c}[/tex] est bien une primitive de [tex]\frac{1}{y^2+c^2}[/tex].
J'ai essayé la décomposition en éléments simples mais bien que le résultat soit juste je n'arrives pas à le simplifier et donc il reste des i et du ln...
Pourriez vous m'expliquer comment trouver cette primitive ou me rediriger vers un lien qui qui répond à ma question ?

Dernière modification par Terces (10-09-2016 17:20:49)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#2 10-09-2016 18:08:03

yoshi
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Messages : 15 256

Re : Primitive

Salut,


Je montre que [tex]\left(\frac 1 c \times\arctan\left(\frac y c\right)\right)'=\frac{1}{y^2+c^2}[/tex]

[tex](\arctan u)' =\frac{u'}{1+u^2}[/tex] donc [tex]\left(\frac 1 c\times\arctan u\right)' =\frac 1 c \times\frac{u'}{1+u^2}[/tex]
Avec [tex]u = \frac y c[/tex] et [tex]u' =\frac 1 c[/tex]

D'où
[tex]\frac 1 c \times\frac{u'}{1+u^2}= \frac 1 c \times \dfrac{\frac 1 c}{1+\frac{y^2}{c^2}}=\frac 1 c \times \dfrac{\frac 1 c}{\frac{y^2+c^2}{c^2}}=\frac 1 c \times \frac 1 c \times \frac{c^2}{y^2+c^2}= \cdots[/tex]

Mais toi, tu veux le "contraire" ? Moi, j'enclencherais la "marche arrière", ça va très vite...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 10-09-2016 18:23:20

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Primitive

Re,

Oui je voudrais en effet le "contraire" : on m'a demandé cette primitive dans un exo, je ne suis donc pas censé connaitre la réponse, ca me parait un peu compliqué de trouver cette "marche arrière" naturellement (en tout cas pour moi ce l'est :/), sais-tu s'il existe une méthode plus algorithmique ?


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#4 10-09-2016 18:34:49

yoshi
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Messages : 15 256

Re : Primitive

Re,

Ah mais, normalement que :
que [tex]\frac{u'}{1+u^2}[/tex] a pour primitive [tex]\arctan u[/tex] (ou que ce dernier a pour dérivée le premier)
fait partie des choses à savoir, non ?
J'enclenche la "marche arrière" :
[tex]\frac{1}{y^2+c^2} = \frac{1}{c^2\times\left(1+ \frac{y^2}{c^2}\right)}= \frac{1}{c^2}\times \frac{1}{1+\frac{y^2}{c^2}}= \frac{1}{c} \times \frac{\frac 1 c}{1+\frac{y^2}{c^2}}[/tex]
et si tu poses[tex] u =\frac y c[/tex], tu as bien la forme[tex] \frac 1 c \times \frac{u'}{1+u^2}[/tex]

Et là, c'est fini.
Pas la mer à boire quand même la marche arrière si on sait où un veut aller... C'est du grand classicisme.

Quant à ta question, non, je ne sais pas.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 10-09-2016 20:13:42

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Primitive

Re,
oui je connaissais la dérivée de arctan(x) en fait mais bon j'en aurais deviné arctan(u)...
enfin bref ok pour la démo, c'est vrai que c'est pas si subtil que ca.
merci.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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