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#1 20-03-2016 16:02:51

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Condition sur les familles libres/génératrices.

Bonsoir,

on me pose une question évidente intuitivement mais je ne vois pas comment la démontrer ;

On a U une famille de n vecteurs dans Rp et A appartenant à Mp,n(R) la matrice de la famille U dans la base canonique.
En utilisant des systèmes AX=Y bien choisis et leur équivalents, montrer par contraposée que :

*Si U est libre alors n <= p.
*Si U est génératrice alors n >= p.

Quand on regarde la forme bien échelonné des matrices, on se dit en effet que si p>n alors la famille n'est pas libre et que si n>p alors elle n'est pas génératrice mais ca ce serait plus de l'ordre de l'explication (si je le développais bien sure) que d'une démonstration... et puis ca n'utilise pas les contraposées.

Voila, merci d'avance.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#2 20-03-2016 16:43:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 770

Re : Condition sur les familles libres/génératrices.

Salut,

  Pourquoi tu dis que cela n'utilise pas les contraposées??? Tu démontres que si [tex]n>p[/tex], alors la famille n'est pas libre. Par contraposée, si la famille est libre, alors [tex]n\leq p[/tex].
Pour passer d'une explication à une démonstration, il te faut juste être précis dans tes justifications. Dire quelquechose du type : "on sait alors que le système est équivalent à un système bien échelonné qui a la forme suivante".

F.

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#3 20-03-2016 16:48:08

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 256

Re : Condition sur les familles libres/génératrices.

Re,

La contraposée de [tex]A \Rightarrow B[/tex]   est   [tex]\text{non}B \Rightarrow \text{non}A[/tex]
En conséquence la contraposée de "Si U est libre alors n <= p" est  "Si n>p alors U n'est pas libre".
A charge pour toi de partir de n>p et de démontrer qu'alors U n'est pas libre...
Ce doit être dans tes cordes, non ?

Si tu le fais alors, si bien sûr, tu auras bien utilisé la contraposée.

@+

[EDIT]Grillé par Fred

Dernière modification par yoshi (20-03-2016 16:49:01)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#4 20-03-2016 18:06:24

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Condition sur les familles libres/génératrices.

Salut d'accord, je vais essayer de formaliser tout ca. Oui désolé, en effet ca utilise les contraposées^^

Merci à vous (deux).


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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