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#1 01-02-2016 19:19:41

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Application linéaire.

Bonsoir,

Voila sur quoi je suis "tombé" :

1 — L’application R → R, f : x 7→ f(x) = 5x est une application linéaire de R vers R, on
vérifie immédiatement que
a. f(x + y) = 5(x + y) = 5x + 5y = f(x) + f(y),
b. f(kx) = 5(kx) = 5kx = k 5x = k f(x).
2 — L’application de R3 dans R2 définie par f(x, y, z) = (y, x + y − z, 3y − x) est aussi une
application linéaire.

Alors, Je ne comprends pas le cas 2 car déjà pourquoi il y a R3 dans R2 et non R3 dans R3 ?
Ensuite, au cas 1 on utilise une définition pour le démontrer :
i. ∀X ∈ E, ∀Y ∈ E, f(X + Y) = f(X) + f(Y),
ii. ∀X ∈ E, ∀λ ∈ R, f(λX) = λ f(x).
Mais j'ai essayé des "variantes" et je ne ne trouves pas comment démontrer le 2, pourriez vous m'aider ?

SURPRISE


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#2 01-02-2016 19:27:42

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Application linéaire.

Bonsoir Terces.

Effectivement ton application [tex]f[/tex] aboutit dans [tex]{\mathbf R}^3[/tex].
Il n'y a aucune malice dans les calculs, si tu sais factoriser par [tex]\lambda[/tex].
Prends plutôt [tex]X=(x,y,z)[/tex] et [tex]X'=(x',y',z')[/tex] comme lettres, tu t'y retrouveras mieux, je pense.

Ostap Bender

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#3 01-02-2016 19:45:48

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Application linéaire.

Re,

Merci pour ta réponse rapide, donc quand tu me dits de factoriser, c'est comme pour la combinaison linéaire ? Mais dans ce cas ca ne marche pas il me semble, x, y et z devraient être conditionnés (si ca ce dit...)
Et comment on vérifie :
i. ∀X ∈ E, ∀Y ∈ E, f(X + Y) = f(X) + f(Y)
ici étant donné qu'on a trois variables ?


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#4 01-02-2016 19:58:34

Ostap Bender
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Messages : 242

Re : Application linéaire.

Tu n'as pas trois variables. Tu en a six :[tex]x,y,z,x',y',z'[/tex] qui se résument en deux variables [tex]X[/tex] et [tex]X'[/tex] que je préfère à  [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex], de même qu'un vecteur de l'espace est le résumé de ses trois coordonnées.

Ostap Bender

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#5 01-02-2016 20:07:35

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Application linéaire.

Ok, je crois que j'ai vu un exemple de ce que tu dis sur un site, je vais tenter de comprendre.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#6 01-02-2016 21:39:45

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 466

Re : Application linéaire.

Re,
C'est bon j'ai pu démontrer que c'est une application linéaire. Merci.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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