Gradient divergence, rotationnel...

chaos140 · 12-12-2005 23:36:17

Bonsoir,
Je cherche a savoir comment peuvent s'interpreter les notions de gradient, divergence , rotationnel...etc
La direction du gradient indique la direction suivant laquelle f varie le plus vite je crois...
Mais pour les autres notions je n'arrive pas a voir
merci encore

freeman · 11-02-2006 03:18:24

Il y en a un qui à intérêt à se faire petit, car les injures touchant au handicap sont un délit et une honte. J'invite le responsable de ce forum à porter plainte contre l'imbécile qui se cache derrière laycu.

miki · 21-05-2006 23:14:19

Il vaut mieux passer pour un idiot 5 minute que de le rester toute sa vie donc ne pas jamais tenir compte des moqueurs lorsque l'on veut progresser.

Je fus autodidacte avant de pouvoir user mes fonds de pantalon dans le circuit de la formation permanente.
J'avais constaté que lorsque je butais sur une incompréhension et que j'osais poser une question je voyais des visages soulagés.
Personne n'osait passer pour un imbécile.

En mathématique l'erreur est un moteur puissant à condition d'apprendre à la détecter par soi-même.

Savoir où on a pas compris est déjà un progrès.

Même les grands esprits se sont cassés les dents sur des problèmes et ce qu'on vous demande d'apprendre en quelques mois a demandé parfois des années d'effort. La route est tracée mais il faut quand même la parcourir à la façon d'un alpiniste qui suit la voie découverte par d'autres.

En ce qui concerne les notions de divergences, rotationnel, circulation, etc..., je les ai découverte au CNAM. J'ai calé sur ces notions non pas à cause de leurs difficultées mais parce que le vocabulaire signifiait quelque chose et que je voulais en comprendre l'origine. Intellectuellement mon esprit s'est bloqué parce que ce n'était pas satisfaisant. Certaines mathématiques ont des raisons d'être trés abstraites, d'autres non.

J'ai fini par trouver la réponse dans volume I de Feyman sur l'électromagnétisme.
Et j'ai découvert que sur ce point le CNAM était un peu lourd car il n'utilisait pas la formulation élégante des NABLA qui est un opérateur vectoriel "assoiffé de différencier quelque chose" dit Feyman en citant Jeans.

Il s'agit en fait de formules intégro-différentielles liés aux vecteurs ou à des scalaires dont dérivent les vecteurs en questions.

Si l'on maîtrise l'algèbre vectoriel et l'analyse on peut retrouver les formules à partir des définitions qui sont inspirées de la physiques, en particulier de l'électromagnétisme ou de la mécanique des fluides.

Je suggère de lire les trois premiers chapitres de l'ouvrage de Feyman de son volume I de l'électromagnétisme qui explique les vecteurs à sa façon, en physicien.

Salutations au conquérants du savoir et compassion ironique aux esprits moqueurs.

J2L2 · 13-06-2006 21:58:54

DIVERGENCE : si elle n'est pas nulle en un point, cela signifie que le champ de vecteurs se dirige tout le tour de ce point et vers l'extérieur de ce point, on pourrait dire que ça scintille dans tous les sens !

ROTATIONNEL : lorsqu'il n'est pas nul en un point, cela signifie que le champ a tendance à tourner autour de ce point, comme l'eau qui coule dans un certain sens au fond du lavabo lorsque celui-ci se vide !

J2L2 · 13-06-2006 22:05:37

Pour la divergence, on peut le montrer mathématiquement (1) grâce au théorème d'Ostrogradski, mais pour le rotationnel : si qq'un sait ?

(1) soit en un point P un vecteur A et une petite surface fermée S enveloppant P et de volume V. On a :

divergence A = lim qd V tend vers 0 de F/V avec F = flux de A à travers S

J2L2 · 13-06-2006 22:09:03

... pour le rotationnel, on s'en sort aussi en disant que la circulation d'un vecteur A autour d'une ligne fermée (engendrant une surface S) est égale au flux du rotationnel à travers S. Ce qui est aussi une forme du th d'Ostrogradski.

hassan · 27-10-2006 22:15:22

chaos140 a écrit :

Bonsoir,
Je cherche a savoir comment peuvent s'interpreter les notions de gradient, divergence , rotationnel...etc
La direction du gradient indique la direction suivant laquelle f varie le plus vite je crois...
Mais pour les autres notions je n'arrive pas a voir
merci encore

ybebert · 27-10-2006 22:41:41

Si mes souvenirs sont exacts le gradient d'une fonction est en fait une dérivée partielle de cette fonction.
Si f varie en fonction de deux variables x et t la dérivée de f selon x est le gradient de f suivant x.
Donc là ou le gradient est le plus fort, là ou la pente est la plus forte.
Pour ma part je ne saisis pas bien ce que signifie la formulation: "La direction du gradient indique la direction suivant laquelle f varie le plus vite " et a-t-elle vraiment un sens.
Merci aux pros de nous éclairer...
A+

hassan · 27-10-2006 23:37:19

chaos140 a écrit :

Bonsoir,
Je cherche a savoir comment peuvent s'interpreter les notions de gradient, divergence , rotationnel...etc
La direction du gradient indique la direction suivant laquelle f varie le plus vite je crois...
Mais pour les autres notions je n'arrive pas a voir
merci encore

galdinx · 03-11-2006 11:14:52

je peux ajouter les définitions théoriques pour ceux qui nous liraient sans trop comprendre car ce que ca représente ne m'est en revanche pas très compris:

On se place en dimension 3 (l'espace) ;
on définit le vecteur nabla par: v=|d/dx , d/dy , d/dz

puis on définit la divergence d'un vecteur divA=vscalaireA
et le rotationnel par rotA = vvectorielA

ainsi la divergence est un scalaire alors que le rotationnel est un vecteur.

Dernière modification par galdinx (03-11-2006 11:17:21)

galdinx · 03-11-2006 11:27:26

Pour ma part j'ai une autre version du théorème de green-ostrogradsky (qui se ramene a celle de J2L2) :

soit une surface fermé S qui limite un volume V, on a :

double intrégrale sur contour fermé(sur la surface S {A(P).n(P)dS}) = intégrale triple(sur le volume V {div(A(M)dtau})

on a de meme le théroème de stokes qui utilise le totationelle :

Soit C un contour et S une surface s'appuyant sur C, on a :

intégrale curviligne(sur le contour C{A(P)dl}) = intégral double(sur S {rotA(M) . [b]n[b](M)dS})

ybebert · 07-11-2006 21:40:29

Puisque la discussion sur ce sujet reprend, je me permets de reposer ma question :

<<Pour ma part je ne saisis pas bien ce que signifie la formulation: "La direction du gradient indique la direction suivant laquelle f varie le plus vite " et a-t-elle vraiment un sens.>> Et si oui lequel ? Car pour moi le gradient est une dérivée partielle...

Merci de vos réponses.

john · 08-11-2006 01:08:48

Pour concrétiser les choses... rien ne vaut un bon exemple concret. (Lapalisse ? Pas certain...).

Prenons une colline, un point M sur cette colline et m la projection de M dans le plan horizontal. En coordonnées cartésiennes on a :
M(x,y,z), m(x,y) et z = f(x,y) une fonction de 2 variables qui définit l'altitude de chaque point de la colline en fonction de m.

Le gradient est par définition un vecteur horizontal qui a pour composantes les 2 dérivées partielles de f selon x et selon y : grad(f) = (df/dx, df/dy) [ndlr : c'est une grandeur locale (vecteur et non dérivée partielle), donc qui varie en fonction du point considéré et de plus, en un même point, ses composantes changent si on change de repère x,y]
En clair, lorsqu'on se déplace de Dx dans le plan horizontal, l'altitude z varie de Dz = (df/dx).Dx et lorsqu'on se déplace de Dy dans le plan horizontal, l'altitude z varie de Dz = (df/dy).Dy.

Lorsqu'on se déplace de Dm (vecteur) dans une direction quelconque de composantes (Dx, Dy), la variation d'altitude Dz = grad(f)*Dm (produit scalaire) est proportionnelle à la projection du gradient de f sur la direction du déplacement Dm dans le plan horizontal.

Si on se déplace de ||Dm|| = cte dans toutes les directions possibles autour de m, on constate que Dz est maximum pour un déplacement colinéaire au gradient de f. On peut donc effectivement dire que le gradient indique la direction de la plus grande pente.
En montagne, le ''chemin des paresseux'' n'est autre que la direction du gradient (à éviter pour respecter la flore, car c'est aussi malheureusement la direction suivie par les eaux de ruissellement).
En espérant avoir éclairé (et non pas noyé) la lanterne d'ybebert...
Bye

ybebert · 08-11-2006 14:54:30

Merci John pour cette explication qui loin de me noyer m'éclaircit beaucoup et remet à jour les vagues notions qui me restaient sur le gradient.

Pour résumer (tu me dis si je me trompe (merci d'avance)) eun point X0 (x0,y0,z0) le gradient est le vecteur

G ( df/dx(x0,y0,z0), df/dy(x0,y0,z0) ) et si on "suit" ce vecteur on constate que Dz est maximum.

On constate, "comme tu dis" mais je suppose qu'il y a une raison mathématique à cela. Sans rentrer dans des détails que j'aurais du mal à suivre, connais tu la justification mathématique à celà. Car vraiment je vois pas et ça me laisse sur ma faim...

A+ et merci encore

john · 08-11-2006 16:17:50

Content d'avoir éclairé au moins un peu ta lanterne ybebert... car tu y es presque. Je te cite :

''Pour résumer ... au point X0 (x0,y0,z0) le gradient est le vecteur G ( df/dx(x0,y0,z0), df/dy(x0,y0,z0) )...''

Petite rectification :
f est une fonction de x et y seulement. Avec z = f(x, y) on définit la surface de la colline. Donc
G = ( df/dx(x0,y0), df/dy(x0,y0) ) ce qui revient à dire que le gradient de f est attaché à chaque point de la SURFACE de la colline.

et je te cite à nouveau :
''si on "suit" ce vecteur on constate que Dz est maximum... mais je suppose qu'il y a une raison mathématique à cela.''

Effectivement, il y a une bonne raison à cela, c'est le produit scalaire qui permet d'exprimer Dz. Je me répète :
''Lorsqu'on se déplace de Dm (vecteur)... Dz = grad(f)*Dm (produit scalaire)... '' et j'explicite :
Dz = ||grad(f)||.||Dm||.cos(G, Dm)
et me cite :
''Si on se déplace de ||Dm|| = cte dans toutes les directions possibles autour de m...''
le cosinus varie entre -1 et +1 et donc Dz est maximum pour un déplacement colinéaire au gradient de f (car cos(0)=1) => '' le gradient indique la direction de la plus grande pente.''

Par exemple, si le gradient G et la direction de déplacement Dm font un angle de 90°, le produit scalaire est nul et donc Dz aussi. Ce qui revient à dire qu'on se déplace alors sur une ligne de niveau ou encore que le gradient est perpendiculaire aux lignes de niveau z=cte.
NB - Ne pas oublier :
- une direction a 2 sens et donc si la pente est max dans un sens elle est min dans l'autre et nulle dans une direction perpendiculaire.
- le gradient peut être nul (par exemple au sommet de la colline) et dans ce cas, quelle que soit la direction du déplacement, le Dz est nul.

Surtout, n'hésite pas à poster si tu as la moindre interrogation, ça peut servir à d'autres.
Bye

ybebert · 08-11-2006 23:11:48

Ok, en reprenant avec la définition du produit scalaire ( Dz = ||grad(f)||.||Dm||.cos(G, Dm) ) tout s'éclaire.

Merci encore John pour ces explications qui surement me trottineront dans la tête quand j'arpenterai le Mont Aigoual ou la Gardiole ;)
A+

john · 09-11-2006 10:16:38

Pleinement satisfait cette fois, je constate que nous sommes beaucoup lus... d'où l'intérêt d'essayer d'être clairs.

Beaucoup lus... mais tant pis pour ce PS :
----------------------------------------------
Si c'est une invite déguisée, pour l'Aigoual, je suis partant, ça me changera du Mercantour.
Bye

FAN FAN · 02-02-2007 23:40:42

Bonjour,
Sur l'interprétation du Rotationnel et de la Divergence, je me suis posé les mêmes questions que toi et voici le frut de mes propres réfexions, réflexions que j'ai soumises à mon prof qui a été très intéressé au point qu'il m'a dit texto: "C'est vraiment très intéressant, je m'en servirais à la prochaîne mouture de mon cours".
Donc voici ce que j'avais mis sur le forum de ce cours à la demande de mon prof:

J'ai trouvé dans les cours de Physique de Richard Feynman (notamment le tome 2 sur l'électromagnétisme) un complément très intéressant du cours de mathématiques car donnant des applications concrètes des gradients, rotationnels, divergences et laplaciens s'appliquant à divers champs physiques, scalaires ou vectoriels, tels par exemple le champ scalaire de température et le champ vectoriel de flux thermique, avec ou non divergence si présence ou non de sources ou de puits thermiques.

Ce cours de R. F. donne une sorte "d'intuition d'évidence" de ces notions qui, sans remplacer la rigueur mathématique, aide beaucoup à la compréhension. Sa lecture est, d'autre part, un véritable enchantement pour qui veut comprendre la Physique.

C'est à partir de ces explications que je me suis forgé un "appareil de pensée" pour mesurer le rotationnel du champ de vitesse d'un fluide (on pourrait l'appeler "rotationnelmètre"):
Cet appareil est constitué d'un petit anneau plan sur lequel est enfilé une petite bague de même densité que le fluide (éviter la poussée d'Archimède). Pour mesurer le rotationnel du champ de vitesse en un point du fluide, je place cet anneau en ce point et je recherche l'orientation qui donne la vitesse de rotation maximale à la bague. Le rotationnel est alors le vecteur de direction perpendiculaire au plan de l'anneau, de sens défini par la règle du tire bouchon (tournant comme la bague) et de module égale à la vitesse de la bague.
Cette image me semble exacte et m'a aidé à comprendre la signification du rotationnel en le rendant concret: le rotationnel d'un champ de vecteurs en un point est la valeur maximale de la circulation du vecteur sur une boucle infinitésimale placée en ce point renormalisée à la surface unitée (la circulation dépend de l'orientation de la boucle dans l'espace). Cette réflexion peut être poussée plus loin: Considérons une courbe fermée et une surface la limitant (il existe une infinité de surfaces s'appuyant sur cette courbe, on choisit l'une d'entre elles parmi celles qui sont "topologiquement simples"). Tapissons cette surface d'une infinité de boucles adjacentes infinitésimales et calculons la somme des circulations sur ces boucles: les circulations sur les adjacences vont s'annuler à l'intérieur car de sens contraires, il ne restera que les contributions des circulations sur le bord. Mais c'est justement un théorème bien connu:
"La circulation d'un champ vectoriel sur une courbe fermée est égale au flux du rotationnel de ce champ de vecteurs à travers une surface s'appuyant sur cette courbe" (théorème de Stockes).
En effet la somme des circulations de toutes les boucles infinitésimales est bien la somme des flux du rotationnel à travers ces boucles (composantes du rotationnel normales aux boucles.
Bien évidemment ce n'est pas une démonstration de ce théorème (quoique, par une théorie analogue à l'intégrale de Riemann, ne pourrait-on pas faire une démonstration rigoureuse ?...)

Toujours en considérant le champ de vitesse d'un fluide, on pourrait interpréter ainsi la divergence: Pour la mesurer prenons un petit cube placé en un point sur lequel on somme algébriquement la quantité de fluide qui sort du cube par toutes les faces et renormalisons au cube unité. Si le résultat est <0, c'est que du fluide est absorbé au sein du cube ou que le fluide est compressé (pensons à un gaz); si >0, alors c'est que le cube contient une source de fluide ou que le fluide est dilaté à l'intérieur; si =0, autant de fluide qui entre et qui sort par les faces. Donc on peut dire que la divergence d'un vecteur en un point est le flux de ce vecteur qui sort d'un cube infinitésimal placé en ce point renormalisé au cube unité.
Soit maintenant un volume V limité par une surface fermée S (on voit Gauss arriver avec de gros sabots !): Pavons ce volume d'une infinité de cubes infinitésimaux. Les flux à travers les faces adjacentes vont s'annuler, ne restera que les flux des faces adjacentes à la surface S limitant le volume V d'où une vieille connaissance:
"Flux à travers S = Intégrale sur V de la divergence" (théorème de Gauss).

Voilà, il y aurait beaucoup à dire sur la richesse de ce que j'ai trouvé dans ces cours de RF sur ces notions appliquées à tous les domaines de la physique.

Bill · 22-02-2007 17:25:52

Allez ici y a tout!
http://www.cegepat.qc.ca/tphysique/seba … /Opera.htm

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#1 12-12-2005 23:36:17

Gradient divergence, rotationnel...

#2 11-02-2006 03:18:24

Re : Gradient divergence, rotationnel...

#3 21-05-2006 23:14:19

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#4 13-06-2006 21:58:54

Re : Gradient divergence, rotationnel...

#5 13-06-2006 22:05:37

Re : Gradient divergence, rotationnel...

#6 13-06-2006 22:09:03

Re : Gradient divergence, rotationnel...

#7 27-10-2006 22:15:22

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#8 27-10-2006 22:41:41

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#9 27-10-2006 23:37:19

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#10 03-11-2006 11:14:52

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#11 03-11-2006 11:27:26

Re : Gradient divergence, rotationnel...

#12 07-11-2006 21:40:29

Re : Gradient divergence, rotationnel...

#13 08-11-2006 01:08:48

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#17 09-11-2006 10:16:38

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