Forum de mathématiques - Bibm@th.net

MathRack

Membre

Inscription : 02-04-2012

Messages : 78

Fourier - dérivation et convolution

Bonjour,

On suppose [tex]f[/tex] périodique. On part de la relation classique :
[tex]\partial_x \left( f^2 \right) = 2 f \partial_x f[/tex]

Dans l'espace de Fourier, on a donc :
[tex]\sqrt{-1} k \left( f \otimes f \right) = 2 f \otimes \left( \sqrt{-1} k f \right)[/tex]

Quelles propriétés du produit de convolution on utilise pour passer de gauche à droite? (et faire venir le 2...)

Merci,
MathRack

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Fourier - dérivation et convolution

Salut,

  J'ai peur de ne pas bien comprendre ta question :
la seule propriété qu'il me semble qu'on utilise sur la convolution, c'est :
* transformée de Fourier d'un produit de convolution = produit des transformées de Fourier
* formule de la transformée de Fourier d'une dérivée
* [tex] a (f\star g)=(af)\star g=a(f\star g) [/tex]

Fred.

MathRack

Membre

Inscription : 02-04-2012

Messages : 78

Re : Fourier - dérivation et convolution

J'avais l'impression qu'on pouvait simplifier la relation dans l'espace de Fourier :
[tex]\sqrt{-1} k \left( f \otimes f \right) = 2 f \otimes \left( \sqrt{-1} k f \right)[/tex]
[tex]\sqrt{-1} k \left( f \otimes f \right) = 2 \sqrt{-1} k \left( f \otimes f \right)[/tex]
[tex]f \otimes f = 2 f \otimes f[/tex]
[tex]1 = 2 [/tex]

Et le résultat final est évidemment faux! On ne peut donc pas sortir le nombre d'onde [tex]k[/tex] du produit de convolution?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Fourier - dérivation et convolution

Non, car ce n'est pas un nombre, mais la variable.....
Quand tu écris [tex]kf[/tex], implicitement tu écris [tex]kf(k)[/tex]