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mems

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[Résolu] congruence

énoncé
a²+9=5^n; n entier naturel et n>=2
a) en raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair
b) montrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² soit une puissance entière de 5

réponse
a) je trouve bie uqe l'équation est impossible lorsque n est impair
b) si l'équation est impossible si n est pair alors n est pair. mais je ne vois pas comment m'y prendre.

car si a²+9=5^n     alors (la congruence de a²+9 modulo 3) - (la congruence de 5^n modulo 3)=0 mais ce n'est pas parce que (la congruence de a²+9 modulo 3) - (la congruence de 5^n modulo 3)=0 que a²+9=5^n

merci de m'aider

freeman

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Re : [Résolu] congruence

Salut,
a) en examinant les cas a=3k, a=3k+1, a=3k+2, on voit que a²+9 = 0 ou 1 modulo 3. Or les puissances de 5 modulo 3 sont 2 si n impair (et 1 si n pair).
b) n est donc pair=2n', et a=3k+1 ou 3k+2. L'équation devient a²= (5^n')²-9 = (5^n'+3)(5^n'-3), qui a pour unique solution 4²=2*8. Pourquoi unique ? Je te laisse le trouver.

Dernière modification par freeman (12-11-2005 21:03:31)

mems

Invité

Re : [Résolu] congruence

merci bcp
je vais essayer avec ton aide