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#1 20-10-2005 20:10:57

gouari
Membre
Inscription : 02-10-2005
Messages : 9

[Résolu] Serie Numerique

SALUT A TOS
MONTRER QUE LA SERIE : sigma 1/n² est convergente.   avec n superrieur ou egal a 0.

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#2 20-10-2005 20:31:18

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : [Résolu] Serie Numerique

Déjà, il faut prendre n>=1.
Ensuite, il y a plein de méthodes....
* la première est de comparer à une intégrale.
* la seconde (la plus élémentaire) est d'écrire que :
     [tex]\frac{1}{n^2}\leq\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.[/tex]
Comme les termes généraux sont positifs, il suffit de montrer la cv de la série de terme général 1/(n(n+1)).
Mais, en utilisant la décomposition précédente, on peut calculer la somme partielle de cette série (c'est télescopique) :
    [tex]\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{N+1}[/tex].
Si l'on fait tendre N vers l'infini, ceci admet une limite, donc la stg converge.

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#3 20-10-2005 20:44:02

gouari
Membre
Inscription : 02-10-2005
Messages : 9

Re : [Résolu] Serie Numerique

je n'arrive pas à voir ce qu tu as ecrit en symboles mathematiques.!!!

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#4 20-10-2005 21:00:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : [Résolu] Serie Numerique

Ca devrait être mieux maintenant?
Je ne sais pas pourquoi, cela marchait très bien avec Firefox/Mozilla (vive les logiciels libres), et pas avec IE.
M'enfin, j'ai essayé de corriger!

Frédéric.

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#5 20-10-2005 21:11:25

gouari
Membre
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Messages : 9

Re : [Résolu] Serie Numerique

merci infinimment. comment on peut le faire avec la methode de comparaison avec une  integrale ?

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#6 20-10-2005 21:12:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : [Résolu] Serie Numerique

Il y a un théorème général qui dit que si f est positive, continue et décroissante, alors la stg f(n) est de même nature que l'intégrale de 1 à l'infini de f.
Comme l'intégrale de 1 à l'infini de 1/t^2 converge (on peut calculer une primitive), on en déduit que
la stg converge.

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#7 24-10-2005 20:00:45

gouari
Membre
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Messages : 9

Re : [Résolu] Serie Numerique

merci beaucoup.

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#8 01-11-2005 21:23:53

ahmed
Invité

Re : [Résolu] Serie Numerique

je pense bien que ce que admin a fait c bien jute car la serie: (1/n+1)-(1/n) cv vers -1 cqfd.

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