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#1 31-10-2005 15:06:59

cathie
Invité

[Résolu] dév en séries entières

bonjour

je suis en plein dans le chapitre des séries entières et j'ai du mal à savoir développer un fonction en séries entières. Pourriez vous m'aider sur ces quelques exemples.

merci d'avance

ln(x²+3x+1)

x*sinx*exp(-x)

cosx*ch(x)

arctan( x/ (x+1))



merci

#2 31-10-2005 18:23:44

freeman
Membre
Inscription : 08-10-2005
Messages : 93

Re : [Résolu] dév en séries entières

Bonjour,

ln(1+x)= x - x²/2 + x³/3 - ...

En posant x²+3x = X, ta première série est donc = (x²+3x) - (x²+3x)/2 + (x²-3x)²/3 - .....
Il faut alors développer proprement.

Rque: X--> 0 quand x-->0

x sinx expx = x ( x - x³/6 + ...)(1+x+x²/2+x³/6+...)
Il faut aussi soigneusement développer.

La troisième c'est pareil que la 2. La dernière est comme la première, tu vs éssayer toute seule :o)

Pour les séries entières, le calcul ne pose pas de problème (une fois qu'on sait), et toute la difficulté est de déterminer le rayon de convergence. Bon courage.

Hors ligne

#3 01-11-2005 20:34:47

Au
Membre
Inscription : 22-10-2005
Messages : 22

Re : [Résolu] dév en séries entières

je pense que c'est un peu compliqué ce qui est proposé et pas explicite,

par exemple pour la 2, je propose
[tex] x\sin(x)e^x=Im(xe^{(i-1)x})=x Im(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(i-1)^k}{k!}x^k)[/tex]
et [tex](-1+i)^k=\sqrt{2}^k(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})^k=\sqrt{2}^ke^{3ik\pi/4}[/tex]
d'où
[tex] Im(xe^{(i-1)x})=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sqrt{2}^k\sin(3k\pi/4)}{k!}x^{k+1}[/tex]
expression que tu peux encore simplifier un tout petit peu !

pour la première fonction , à mon avis il vaut mieux former une mini equa diff et chercher les solutions développables en séries entières de cette équa diff,

la troisieme meme astuce que la 2

la derniere une equa diff aussi par exemple,

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#4 01-11-2005 20:35:19

Au
Membre
Inscription : 22-10-2005
Messages : 22

Re : [Résolu] dév en séries entières

je pense que c'est un peu compliqué ce qui est proposé et pas explicite,

par exemple pour la 2, je propose
[tex] x\sin(x)e^x=Im(xe^{(i-1)x})=x Im(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(i-1)^k}{k!}x^k)[/tex]
et [tex](-1+i)^k=\sqrt{2}^k(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})^k=\sqrt{2}^ke^{3ik\pi/4}[/tex]
d'où
[tex] Im(xe^{(i-1)x})=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sqrt{2}^k\sin(3k\pi/4)}{k!}x^{k+1}[/tex]
expression que tu peux encore simplifier un tout petit peu !

pour la première fonction , à mon avis il vaut mieux former une mini equa diff et chercher les solutions développables en séries entières de cette équa diff,

la troisieme meme astuce que la 2

la derniere une equa diff aussi par exemple,

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