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mrpate

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image d'une base par un endomorphisme [Résolu]

C'est pour une question sur le sujet suivant http://ccp.scei-concours.fr/html/deug/s … rtie_1.pdf

J'arrive pas à faire la question 4)b) de l'exo 2
J'essaye de montrer que la famille est libre mais je n'y arrive pas un peu d'aide ne serait pas de refus

freddy

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Re : image d'une base par un endomorphisme [Résolu]

Re,

je crois que c'est assez simple à faire, si on se souvient que si F est le supplémentaire de Ker(f) dans E, alors f est une isomorphisme de F dans Im(f).

Donc, puisque [tex](e_1, e_2, ..., e_p)[/tex] est une base de F, l'image par f de cette base est donc une base de Im(f).

C'est bon ?

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Fred

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Re : image d'une base par un endomorphisme [Résolu]

Bonsoir,

Oui, Freddy, ton raisonnement est correct.
Une autre façon de le dire, en utilisant le a), est que,
puisque [tex](e_1,\dots,e_p,e'_1,\dots,e'_p)[/tex] est une base de E,
[tex](f(e_1),\dots,f(e_p),f(e'_1),\dots,f(e'_p))[/tex] est une famille génératrice
de Im(f). Tu peux retirer les derniers qui sont nuls, donc
[tex](f(e_1),\dots,f(e_p))[/tex] est une famille génératrice de Im(f).

C'est facile de démontrer ensuite que c'est une famille libre en revenant à la définition et en utilisant que F est un supplémentaire de Ker(f).

Fred.

mrpate

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Re : image d'une base par un endomorphisme [Résolu]

ok en fait il me fallait montrer seulement que la famille est generatrice ou libre et conclure avec les dimensions.
Mais moi pour montrer que la famille est libre j'ai essayé avec la definition mais je n'ai pas arrivé à conclure
Le coup de l'isomrphisme je n'y aurais jamais pensé.

Merci à vous freddy et Fred (des jumeaux peut etre :D)