Matrice symétrique définie positive [Résolu]

marcanlem · 02-06-2009 16:59:05

Salut
Si A est une matrice symétrique définie positive, comment montrer qu'il en est de même pour A*A.
Merci de me donner un indice et pas la solution tout de suite.

Roro · 02-06-2009 18:18:33

Bonjour marcanlem,

Tu peux d'abord montrer que si A est symétrique alors A*A est aussi symétrique : écrit la définition de "symétrique" pour une matrice et ça ne devrait pas te poser trop de problème...

Ensuite, est ce que tu es d'accord que "A définie positive" signifie
[tex]\forall X\in \mathbb R^n \setminus\{0\}\quad X^T A X > 0 ~ ?[/tex]
Si tu utilises cette définition, tu devrais assez facilement montrer que si A est symétrique alors A*A est définie positive...

Bon courage,
Roro.

P.S. Tu auras sans doute besoin de propriétés du type [tex](A^T)^2=(A^2)^T[/tex] et [tex](AB)^T=B^T A^T[/tex].
Si tu ne connais pas ces formules, tu peux les démontrer à la main (c'est à dire en écrivant les coefficients des matrices...).

marcanlem · 03-06-2009 08:55:25

Bonjour,
Pour montrer que si A est symétrique alors A*A est symétrique je n'ai pas eu de problèmes.
Mais pour montrer que si A est symétrique alors A*A est définie positive.
En partant de (X^T*A*X)^2=X^T*A*X*X^T*A*X car (X*X^T n'est égale à l'identité), ça ne marche pas.
Il faut bien montrer que X^T*A^2*X>0?
Et quelqu'un d'autre m'a donné une autre solution qui me paraît plus simple:
Pour toute matrice réelle A , les matrices symétriques AAt et AtA sont positives ; elles sont définies positives si et seulement si A est inversible.
Dans notre cas: A=At (car A symétrique) donc B=A.A=A.At symétrique d'aprés ma phrase du haut.
on a aussi A inversible donc A.A-1=I
A-ton B inversible?
Oui car B.B-1=A.A.A-1.A-1=A.I.A-1=I
B est donc sym+def positive.
En fait j'ai tourné les expressions dans tous les sens et je n'arrive pas, peut-être y a t-il un résultat sur les matrices que je ne connaît pas ou une astuce à utiliser.
N.B: j'avais déjà essayé avec la définition d'une matrice définie positive.

tibo · 03-06-2009 11:01:50

Bonjour,

Le problème de la démonstration de ton camarade, c'est que tu supposes A inversible.
Or tu n'as aucune indication de ce genre.

Et tu ne part pas de la bonne formule.
Que dois-tu montrer?
[tex]A^2[/tex] définit positive
ie [tex]{}^t X.A^2.X>0 \ \ pour\ X \neq 0[/tex]

Et bien triture cette formule dans tout les sens pour essayer de montrer que c'est >0
sachant que [tex]{}^t X.A.X>0[/tex] (mais ça ne nous sert à rien ici)
et que [tex]{}^t A=A[/tex]
et en utilisant propriétés que Roro t'as donné dans son P.S.
Je rappelle que ces propriétés sont vraies quelque soit la taille des matrices, du moment que le produit AB existe.

PS: essaye d'utiliser un peu le LaTeX, parce que ton message précédent était limite illisible.
Tu peux aller t'initier ici

Dernière modification par tibo (03-06-2009 11:03:19)

marcanlem · 03-06-2009 15:53:46

Bonjour,
J'ai obtenu:
[tex]\dpi{}^t%20X.A^2.X=(AX,AX)[/tex]
puis-je en déduire que [tex]\dpi{}^t%20X.A^2.X[/tex]>0, ou dois-je encore chercher?

marcanlem · 03-06-2009 15:57:04

En posant [tex]Y=A.X j'obtiens\ (AX,AX)= (Y,Y)[/tex], soit le carré de la norme euclidienne qui est toujours positive

Roro · 03-06-2009 17:10:37

Bonjour,

Parfait... c'est à cette méthode que je pensais.

Roro.

marcanlem · 04-06-2009 10:18:05

Est-ce que A symétrique définit positive implique que A est inversible?

freddy · 04-06-2009 11:07:01

Bonjour,

Les propriétés suivantes sont communes aux matrices symétriques réelles et aux matrices complexes hermitiennes.

Toute matrice définie positive est inversible (à déterminant réel strictement positif), et son inverse est elle aussi définie positive.
Si M est définie positive et r est un nombre réel strictement positif, alors rM est définie positive.
Si M et N sont définies positives, alors M + N est définie positive.
Si M et N sont définies positives, et si MN = NM (on dit qu'elles commutent), alors MN est définie positive.
Une matrice M est définie positive si et seulement s'il existe une matrice définie positive A telle que A^2 = M ; dans ce cas, la matrice définie positive A est unique, et on peut la noter A = M^(1 / 2 )

ça répond à ta question ?

tibo · 04-06-2009 14:51:28

Bonjour,

Quelque chose m'intrigue dans ta dernière propriété.
Pas dans sa véracité (je me les suis toute redémontrées pour le fun), mais des questions me viennent à l'esprit

[tex]A_1\ définit\ positive <=> \exists A_2 définit positive,\ A_2^2=A_1\ et\ A_2 \ est\ unique[/tex]
[tex]A_2\ définit\ positive <=> \exists A_3 définit positive,\ A_3^3=A_2\ et\ A_3 \ est\ unique[/tex]
...
On définit ainsi une suite de manière unique.
Quelle sont ses propriétés? conditions de convergence? et vers quelle limite?

Dernière modification par tibo (04-06-2009 17:13:55)

freddy · 04-06-2009 18:57:51

salut tibo,

pour répondre à tes questions, je ferai un truc simple : calcul des vecteurs et valeurs propres et déduction de quelques propriétés "sympas" comme convergence, limites ...
Qu'en penses tu ?

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