Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tibo

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fourmis et damier

Bonjour,

le nouveau tangente sup est tombé, j'essaye de séletionner les problèmes les plus ludiques.
La je n'en vois qu'un:

"Dans caque case d'un damier (2m+1)x(2n+1) se trouve une fourmi. A un moment donné, chacune des fourmis se déplace, horizontalement ou verticalement, dans l'une des cases voisines de celle qu'elle occuait précédemment. Montrer que l'une des cases est alors vide de toute fourmi."

voilà, bonne chance

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vbnul

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Re : fourmis et damier

S'il existe une case vide, c'est qu'il est impossible de bouger les fourmis pour remplir toutes les cases.

Intuitivement, on voit bien que c'est le cas : si chaque fourmi échange avec sa voisine, il reste une dernière rangée qui n'a pas de voisine.
Ceci à cause du (2m+1)x(2n+1).

Bon après la démonstration…

tibo

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Re : fourmis et damier

Bien, bonne intuition
une petite aide, immagine que le damier est noir et blanc,
et continue à faire marcher ton intuition...

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iamismael

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Re : fourmis et damier

bonjour
il y a une fourmi sur chaque case
le nombre de case est impaire ===> 2(2mn+m+n)+1 cases
il y a donc 2mn+m+n permutation ( de fourmis ) possible ( 2 à 2 )
la dernière fourmi ne peut permuter avec aucune autre donc elle laisse la case vide....
(ma démonstration me parait peu catholique...)

Dernière modification par iamismael (04-03-2009 14:26:16)

tibo

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Re : fourmis et damier

Bonjour,
je comprend ton raisonnement, mais je doute que permutation soit le terme approprié.
Et en effet ce n'est pas très rigoureux

Si je reprend l'idée d'un damier noir et blanc "classique", comme tu l'as dit il y a un nombre impair de case,
donc il y a exactement une case blanche de plusque les cases noires.
donc...

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iamismael

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Re : fourmis et damier

bonjour
oui, je parlais en faite de transposition, les fourmis étant sur les cases noires
se retrouve dans les cases blanches, les fourmis étant sur les cases blanches
se retrouve dans les cases noires . la fourmi qui est sur la case blanche supplémentaire, rejoint une autre fourmis sur une des quatre cases noires qui l'entoure laissant la dernière case blanche vide.