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#1 12-11-2008 17:40:38

tibo
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casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Bonjour,

ma première enigme n'a pas beaucoup de succé, passons à la deuxième:

"Soient n points de la spére d'équation x²+y²+z²=1.
Montrer que la somme des carrés des distances entre ces points n'excède pas n²."

[edit Fred] J'ai modifié le sujet pour qu'il soit plus explicite.


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#2 12-11-2008 19:04:54

yoshi
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Bonsoir tibo,

Je traduis "n'excède pas" par inférieur ou égal...
Ensuite la distance maximale entr deux points de la sphère est égale à son diamètre, ici 2.
S'il y a n points sur la sphère, il y a n(n-1)/2 distances entre eux.
Je majore chacune de ces distances par 2, et donc leur carré par 4.
D'où S = 2n(n - 2)....

Et là je m'aperçois que je me suis probablement engagé sur une fausse piste. Je continue à creuser....

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#3 12-11-2008 19:28:26

tibo
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Bonsoir,

c'est la première direction que j'ai voulu prendre moi aussi, mais en majorant toutes les disances par 2 cela  signifie que l'on pourrait trouver trois points distants de 2 deux à deux (enfin pas tout à fait), ce qui est impossible
La majoration est trop large.

Il ne faut pas chercher trop loin, c'est un raisonnement tout à fait basique qu'il faut utiliser (tout comme le premier casse tête d'ailleur)


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#4 12-11-2008 19:56:48

yoshi
Modo Ferox
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Re,

C'est ce quej'ai vu... Aors, j'envisageais une récurence sans trop voir comment, mais puisque tu dis que c'est basique, je vais ssayer ça autrement.
Sinon, je viens d'xplorer encore un fausse pistr dont je vais conserver quand même ceci : la somme des carrés est majorée par le carré de la somme.
Je nesais pas où ça peut me mener d'ailleurs...

@+


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#5 12-11-2008 20:19:33

tibo
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

re,

en effet, je suis passé par la récurence...


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#6 13-11-2008 10:10:28

Fred
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Bonsoir,

  J'ai trouvé une solution, sans récurrence, mais qui n'est pas facile d'un point de vue mathématique.
J'utilise en effet les multiplicateurs de Lagrange.

Ils permettent de prouver qu'en une configuration où la somme des carrés des distances est maximale,
on a [tex]x_1+\dots+x_n=0[/tex], si je note mes points [tex](x_1,y_1,z_1),\dots,(x_n,y_n,z_n)[/tex].
En mettant ceci au carré (on a bien sur la même équation en y et en z), il est facile de voir que la somme des carrés des distances sera inférieure ou égale à n². Le problème est d'obtenir cette équation sans les multiplicateurs de Lagrange. Peut-être par symétrie?

En passant, qui connait une preuve élémentaire du même résultat, mais sur le cercle et non sur la sphère
(ou comment maximiser la somme des carrés des distances des points sur le cercle).

Fred.

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#7 13-11-2008 21:52:37

tibo
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Bonsoir,

En y réfléchissant, cette énigme me fait penser au problème des dictateurs ennemis:
Soit n dictateurs quise répartissent sur la spère en vivant le plus loin possible ls uns des autres. Et c'est un des problèmes le plus difficile des mathématiques...


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#8 14-11-2008 20:58:52

Barbichu
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Salut,
Il n'y a que moi que ça gêne ?
Comment définis-tu "la somme des carrés des distances" ? S'agit t'il des distances prises entre tous les points, deux à deux. Ou bien juste dans l'ordre |x1-x2| + |x2-x3| + ... + |xn - x1| (en rebouclant sur le premier ou pas ?). Ou bien encore autre chose ?
++


Barbichu

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#9 14-11-2008 21:01:34

Fred
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Salut,

  Je crois qu'on trouve n^2 si on considère la somme des carrés de toutes les distances,
ie [tex]\sum_{i<j}|x_i-x_j|^2[/tex]
Je ne vois pas bien comment on peut s'y prendre par récurrence...

Fred.

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#10 14-11-2008 23:45:59

tibo
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Bonjour,

voila comment j'ai fait (si ça se trouve, ça va encore être faux)
j'ai choisi la distance selon la norme euclidienne usuelle
et je considère les distances de tout couples de points.

L'initialisation pour n=2 est évidente
la distance maximal est le diamêtre, soit 2.

Supposons  [tex]\sum_{1 \le i<j \le n}\ d^2(x_i,x_j)\ \le \ n^2\ \ \ pour\ n\in \mathbb N \ fixé[/tex]
Montrer que  [tex]\sum_{1 \le i<j \le n+1}\ d^2(x_i,x_j)\ \le \ (n+1)^2\ =\ n^2+2n+1[/tex]
Or  [tex]\sum_{1 \le i<j \le n+1}\ d^2(x_i,x_j)\ =\ \sum_{1 \le i<j \le n}\ d^2(x_i,x_j)\ +\ \sum_{i=1}^n \ d^2(x_i,x_{n+1})\ \le\ n^2+2n+1[/tex]
Il suffit de montrer que  [tex]\sum_{i=1}^n \ d^2(x_i,x_{n+1})\ \le\ 2n+1[/tex]
et...
ah ben mince ça fonctionne pas...

Bon, je retourne à mes papiers et crayon...


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#11 15-11-2008 19:49:25

yoshi
Modo Ferox
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Bonsoir,

J'ai un truc (douteux) sur la récurrence...
Ca marche avec des valeurs simples 2 et 3
Après je veux montrer l'héritage.
Je rajoute un n+1e point ce qui me rajoute n distances supplémentaires, je considère tous les carrés (formes géométriques) ayant pour côté chacun des segments joignant ce n+1e point aux autres...
La somme des carrés des distances devient dès lors la somme des aires de ces plaques que je maximise par [tex]4\pi.1^2[/tex], aire latérale de la sphère.
et [tex]4\pi<2n+1[/tex] pour n>=6... C'est là que le bât me blesse !
Après avec [tex]S_n<n^2[/tex] on obtient [tex]S_{n+1}<n^2+4\pi<n^2+2n+1[/tex]

Proposition(s) de correction(s) ?

@+


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#12 15-11-2008 20:23:06

Fred
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Salut,

  Es-tu sur que ces plaques sont disjointes? C'est obligatoire si tu veux majorer (mieux que maximiser!) par l'aire latérale..

Fred.

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#13 15-11-2008 20:40:59

yoshi
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Re,

Pas du tout ! Mon radar personnel ;-) me disait que c'était peut-être une petite idée à creuser...
Pour des points disposés aléatoirement, il y a sûrement des plaques qui ne le sont pas : la probabilité du contraire doit être très faible !

Tant pis, j'aurais essayé... Je vais reprendre mon bâton de pélerin : peut-être qu'en route une autre idée me trouvera !

@+


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#14 15-11-2008 20:46:16

Fred
Administrateur
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Re,

A vrai dire, j'ai un peu de mal à comprendre comment une récurrence pourrait fonctionner.
Si par exemple sur le cercle, on cherche à maximiser la somme des distances pour deux points,
puis pour trois points, la configuration des points devient très différente.
Je crois plutôt qu'il faut trouver un bon argument d'invariance qui nous dit que, là où les points sont le plus écarté, alors telle propriété est vraie (par exemple, puisqu'elle permet de conclure, que [tex]x_1+\dots+x_n=0[/tex], si les points ont pour coordonnées [tex](x_i,y_i,z_i)[/tex].
Même si on se place sur le cercle et qu'on cherche à disposer 3 points, est-ce que quelqu'un a une preuve facile que la disposition qui les écarte le plus correspond au triangle équilatéral?

Fred.

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#15 16-11-2008 13:49:43

Barbichu
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Salut,
Pour la disposition de trois points sur le cercle, j'ai trouvé une démo élémentaire, mais pas si facile.
On prend les trois points du cercle du plan complexe [tex]1[/tex], [tex]a=e^\theta[/tex] et [tex]b=e^\varphi[/tex]  (on en a fixé 1 par symétrie).
Essayons de maximiser la somme des carrés des distances : [tex]D(a,b) = |a-1|^2 + |b-1|^2 + |a-b|^2[/tex]
[tex]D(a,b) = |a|^2 - \Re(a) + 1 + |b|^2 - \Re(b) +1 + |a|^2 - \Re(a\bar{b}) + |b|^2[/tex]
           [tex] = 2\left(|a|^2 + |b|^2 + 1\right)  -2\left(\Re(a) + \Re(b) + \Re(a\bar{b})\left)[/tex]
           [tex] = 6 -2\left(\Re(a) + \Re(b) + \Re(a\bar{b})\left)[/tex]
           [tex] = 6 -2\left(\cos(\theta) + \cos(\varphi) + \cos(\theta-\varphi)\left)[/tex]

Tout revient donc à minimiser [tex]S(\theta,\varphi) = \cos\theta + \cos\varphi + \cos(\theta-\varphi)[/tex] avec [tex]\theta,\varphi \in \mathbb{R}[/tex].

[tex]\frac{\partial S}{\partial\theta}(\theta,\varphi) = -\sin\theta + \sin(\varphi-\theta)[/tex]
[tex]\frac{\partial S}{\partial\varphi}(\theta,\varphi) = -\sin\varphi + \sin(\theta-\varphi)[/tex]


    [tex]\frac{\partial S}{\partial\theta}(\theta,\varphi) = \frac{\partial S}{\partial\varphi}(\theta,\varphi) = 0[/tex]
             [tex]\Longleftrightarrow[/tex]
[tex]\sin\theta = \sin(\varphi-\theta)\;\wedge\;\sin\varphi = \sin(\theta-\varphi)[/tex]
             [tex]\Longleftrightarrow[/tex]
     [tex]\theta = -\varphi\;[2\pi] \;\wedge\;\sin\theta = \sin(\varphi-\theta)[/tex]
ou bien  [tex]\theta = \pi+\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\sin\theta = \sin(\varphi-\theta)[/tex]
             [tex]\Longleftrightarrow[/tex]
     [tex]\theta = -\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\sin\theta + \sin(2\theta)=0[/tex]
ou bien  [tex]\theta = \pi+\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\sin\theta = 0[/tex]
             [tex]\Longleftrightarrow[/tex]
     [tex]\theta = -\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\sin\theta + 2\cos\theta\sin\theta=0[/tex]
ou bien  [tex]\theta = \pi+\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\theta = 0\;[\pi][/tex]
             [tex]\Longleftrightarrow[/tex]
     [tex]\theta = -\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\sin\theta(1 + 2\cos\theta)=0[/tex]
ou bien  [tex]\theta = \pi+\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\theta = 0\;[\pi][/tex]
             [tex]\Longleftrightarrow[/tex]
     [tex]\theta = -\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\sin\theta=0[/tex]
ou bien  [tex]\theta = -\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;1 + 2\cos\theta=0[/tex]
ou bien  [tex]\theta = \pi+\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\theta = 0\;[\pi][/tex]
             [tex]\Longleftrightarrow[/tex]
     [tex]\theta = -\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\theta=0\;[\pi][/tex]    (1)
ou bien  [tex]\theta = -\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\theta=\pm\frac{2\pi}{3} [2\pi][/tex]   (2)
ou bien  [tex]\theta = \pi+\varphi\; [2\pi] \;\wedge\;\theta = 0\;[\pi][/tex]   (3)

Dans le cas (1) : [tex]S(\theta,\varphi) \in \{-1,1\}[/tex]
Dans le cas (2) : [tex]S(\theta,\varphi) = -\frac{3}{2}[/tex]
Dans le cas (3) : [tex]S(\theta,\varphi) = 1[/tex]

Vu la régularité de la fonction S, l'un des trois cas au moins est un minimum global, on en tire que le cas (2) est le minimum, atteint pour [tex]\theta = \frac{2\pi}{3} [2\pi],\; \varphi = -\frac{2\pi}{3} [2\pi][/tex]
On a alors [tex]D(e^\theta,e^\varphi) = 6 - 2 (-\frac{3}{2}) = 9 = 3^2[/tex]

Cette démonstration marche aussi pour trois points sur la sphère (il suffit de se placer dans le plan définit par ces trois points).
On observe deux choses :
1/ Il s'agit du cas d'égalité dans l'inégalité que l'on voulait démontrer (mais bon, c'est pour 3 points, et on s'en doutait)
2/ Il est vain de vouloir procéder par récurrence avec pour seule hypothèse de récurrence le fait que [tex]\displaystyle\sum_{0\leq i,j\leq n\,\wedge\,i<j} |x_i - x_j|^2 \leq n^2[/tex] car ici on se rend compte qu'en prenant n'importe quelle paire de points parmi les trois (répartis pour obtenir le cas d'égalité), quand on rajoute le troisième, la somme des deux nouvelles distances est 6 qui plus grande que 2n+1 = 5.
Si on veut vraiment le montrer par récurrence, il faut sûrement renforcer l'hypothèse de récurrence en essayant de tenir un peu plus compte de la répartition (si on ajoute un point à un ensemble de points trop bien répartis, alors la distance à ce nouveau point sera inférieure à 2n+1, et si on ajoute un point à un ensemble de point pas assez bien répartis alors la distance à ce nouveau point sera plus élevée, mais le reste sera suffisamment inférieur à n² pour que ça marche)
L'indicateur de répartition est [tex]\displaystyle\sum_{i<j} |x_i - x_j|^2[/tex]

Voila pour ma petite contribution en attendant de trouver quelque chose de concret
++


Barbichu

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#16 16-11-2008 16:13:07

Fred
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Ouep, ce n'est pas si facile....
Finalement, mes multiplicateurs de Lagrange ne sont pas si mauvais!

Fred.

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#17 16-11-2008 22:22:54

Barbichu
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

I do agree


Barbichu

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#18 12-01-2009 23:26:07

tibo
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Re : casse-tête n°2 - Points "écartés" sur la sphère

Bonjour,
voilà le corrigé de celui-ci:

"Soient [tex](M_i)_{1 \le i \le n}[/tex] les n points donnés de la shère de centre O et déquation [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex].

Posons [tex]u_i = \overrightarrow{OM_i}[/tex]
Avec [tex]||u_i||[/tex] = 1 pour [tex]1 \le i \le n[/tex].
Calculons la somme des carrés des distances entre ces n points.
[tex]\sum_{1 \le i<j \le n} ||u_i-u_j||^2[/tex]
[tex]= \sum_{1 \le i<j \le n} (u_i-u_j).(u_i-u_j)[/tex]
[tex]=(n-1) \sum_{1 \le i \le n} u_i.u_j – 2 \sum_{1 \le i<j \le n} u_i.u_j[/tex]
[tex]= n \sum_{1 \le i \le n} ui.u_i - \left[ \sum_{1 \le i \le n} u_i.u_i + 2\sum_{1 \le i<j \le n}u_i.u_j \right][/tex]
[tex]= n^2 - \left(  \sum_{1 \le i \le n} u_i \right) . \left(  \sum_{1 \le i \le n} u_i \right)[/tex].

Le résultat annoncé en découle ; l’égalité est obtenue si et seulement si la somme des n vecteurs [tex]u_i[/tex] est nulle."


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