allumettes et carré

tibo · 13-10-2008 15:03:06

Bonjour,

voici un problème d'alumette.

"On dispose d'un carré constitué de quatre allumettes.
Tant que les extrémités des allumettes de ce carré demeurent en contact, celui-ci peut être déformé.
On suppose que l'on peut ajouter autant d'allumettes que nécessaire, à condition de les poser à plat, sans chevauchement ni épaisseur multiple, et de telle sorte que deux allumettes en contact le soient toujours par leurs extrémités.
Quel est le nombre minimal d'allumettes nnécessaires pour rigidifier le carré?"

bonne réflexion

Golgup · 14-10-2008 07:44:10

Bonjour,

J'ajouterai 2 alumettes pour que le carré ne puisse plus bouger, les 2 en diagonale avec une au dessus du carré, une au dessous..

++

yoshi · 14-10-2008 10:33:43

Bonjour,

Je ne sais pas trop ce que signifie pour Golgup, "les 2 en diagonales au dessus du carré" et si c'est bien ce que je pense, si ce n'est pas en contradiction avec le "sans chevauchement ni épaisseur multiple" de tibo...
Si mon carré se nomme ABCD et que AB = BC = CD = DA = a (comme allumette), je maintiendrais les contacts A,B,C,D et la longueur avec une déformation en losange...
Je suppose que toutes les allumettes rajoutées sont en contact deux à deux par leurs extrémités entre elles (elles = les allumettes) et avec certaines de celles composant le carré.
Donc, à vue de nez comme ça, je dirais qu'un triangle rectangle avec des dimensions données est indéformable.
Mon idée première est donc de construire à partir du carré un triangle rectangle de dimensions entières.
Le plus petit d'entre eux est le célèbre 3,4,5 (qui a servi de base à la "corde à 13 noeuds" des géomètres du passé).
Donc je dirais 10 allumettes.
Mais je vais creuser plus avant la question et voir si je peux améliorer mon score

yoshi · 14-10-2008 12:16:04

Re,

Si une fois les allumettes rajoutées, l'ensemble de toutes les allumettes constituant la nouvelle figure doit rester en contact au cours de la tentative de déformation, alors je m'en tire avec 4.
Je construis, en prenant comme bases deux côtés consécutifs du carrés, deux triangles équilatéraux à l'extérieur dudit carré...

@+

tibo · 14-10-2008 19:41:49

Bonjour,

Je rappelle que toutes les allumettes ont même longueur, notons-la a

Donc le coup des diagonales ne fonctionne pas car
1) il faudrait des allumettes de longueur [tex]a \sqrt 2[/tex]
2) les diagonales se supperposeraient.

D'après ce que j'ai compris, yochi, tu fabriques des triangles rectangles en alignant plusieurs allumettes pour chaque coté. Sauf que tes cotés de triangle sont mobiles.
Ce n'est peut-être pas clair dans l'énoncé, mais en fait toute la figure peut bouger.
La seule condition étant que deux allumettes en contact (par leur extrémités) le reste.

Donc 4 me parait trés peu, surtout sachant que le meilleur résultat trouvé est 23.
Cependant, personne n'a prouvé que c'était le minimum,...

yoshi · 14-10-2008 21:23:55

Bonsoir,

Alors le texte n'est pas clair...
Ma première idée :

|
|
|
|-----|
| |
----------------------------

Je m'appuie sur le carré : je prolonge de 2 longueurs : côté = 3
Perpendiculairement je prolonge de 3 longueurs : côté = 4
L'hypoténuse mesure donc 5 allumettes. 3 + 4 + 5 = 12 allumetes et moins les 2 côtés du carré, ça fait 10
Le carré est à l'intérieur du triangle rectangle : il est donc impossible de déplacer 1 allumette, ou de déformer l'ensemble sans perdre la "jointivité" (ça existe ?) des allumettes...

2e idée
Carré ABCD
A l'extérieur un triangle équilatéral ABE, et un autre BCF.
Là encore, même constat, sur la "jointivité" des allumettes et la déformation de la figure...

C'est l'expression "rigidifier le carré" qui pose question...

@+

tibo · 14-10-2008 22:40:34

bonsoir,

immagine que chaque allumette soit relié aux autre par un bout de caoutchouc, les liant mais n'empéchant pas le mouvement de torsion.
Rigidifier signifie que le carré est bloqué par le autres allumettes

exemple dans l'espace, 8 allumettes suffisent: il suffit de fabriquer un tétraèdre.

SébastienB · 30-11-2008 13:10:47

Bonjour,

Moi je dirai qu'il faut 3 allumettes pour faire un triangle qui par définition je crois est indéformable. Donc dans un carré constitué de 4 allumettes, si on en colle une en diagonale au milieu du carré, on obtient 2 triangles.

Ce qui fait 5 allumettes ?

@+

yoshi · 30-11-2008 14:36:36

Re,

Nan !
Dans le message #5,

tibo a écrit :

Je rappelle que toutes les allumettes ont même longueur, notons la a
Donc le coup des diagonales ne fonctionne pas car
1) il faudrait des allumettes de longueur [tex] a \sqrt 2[/tex]
2) les diagonales se superposeraient.

@+

SébastienB · 30-11-2008 17:53:46

Ah oui, la diagonale d'un carré est un peu plus longue que son coté.

Dans ce cas peut être que l'on peut constituer plusieurs carrés un peu comme cela :

et on finira bien par obtenir quelque-chose de solide avec de la colle uhu.

Autrement j'ai pensé à un truc:

b|\ c
|_\
a|_|_\ c
a b

b fait x alumettes et c doit faire à un moment donné x + 1 allumettes et on obtiendra deux triangles rectangles en faisant filer les cotés (idée vue dans un message + haut).

le triangle devrait avoir les 3 cotés : a , xa et (x+1)a et donc en faisant 2* (1+x+(x+1)) + 2 on pourrait avoir le nombre minimal d'allumettes a pour obtenir la figure que j'ai dessinée ci dessus.

Mais :
1: un triangle constitué d' allumettes mises bout à bout n'est pas solide
2: je dirai que cela soit possible dépend de la longeur d'une allumette a

donc je ne suis pas certain que mon idée soit la bonne.

@+

yoshi · 30-11-2008 18:56:02

Salut,

J'avais pensé à ça : message #6 + 1 autre idée encore.
Tibo a dit le mini trouvé à ce jour est 23 allumettes.

On ne doit pas s'entendre sur le mot "rigidifier"...
Dans ces conditions, j'ai arrêté toute recherche : c'est inutile !

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 13-10-2008 15:03:06

allumettes et carré

#2 14-10-2008 07:44:10

Re : allumettes et carré

#3 14-10-2008 10:33:43

Re : allumettes et carré

#4 14-10-2008 12:16:04

Re : allumettes et carré

#5 14-10-2008 19:41:49

Re : allumettes et carré

#6 14-10-2008 21:23:55

Re : allumettes et carré

#7 14-10-2008 22:40:34

Re : allumettes et carré

#8 30-11-2008 13:10:47

Re : allumettes et carré

#9 30-11-2008 14:36:36

Re : allumettes et carré

#10 30-11-2008 17:53:46

Re : allumettes et carré

#11 30-11-2008 18:56:02

Re : allumettes et carré

Pied de page des forums