Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 19-12-2005 11:03:40
- walid
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[Résolu] inéquation de suite crtoissante
Aidez moi à trouver solution à l'exercice suivant :
Soit (an) une suite croissante de nombres réels strictement positif
Montrer que :
1/a1 + 2/(a1+a2) + 3/(a1+a2+a3)+…….+ n/(a1+a2+a3+….an) < 4 (1/a1+1/a2+.....+1/an).
Merci beaucoup.
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#2 19-12-2005 17:31:26
- J2L2
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
as-tu essayé par récurrence ?
#3 20-12-2005 12:55:08
- walid
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
as-tu essayé par récurrence ?
OUI mais on y arrive pas.
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#4 27-12-2005 12:06:06
- walid
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
j'attends toujours un effort de votre part
walid
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#5 27-12-2005 18:29:58
- SoS
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
Sache que ton problème n'est pas passé dans les yeux d'un aveugle. Mais elle est bigrement interessante que je n'en trouve pas la solution. Je m'y atèle sache le...quand la solution viendra enfin à mon cerveau elle sera dite sur le forum.
Pour l'instant j'en suis resté à inverser les fractions(et donc aussi l'inéquation) pour trouver une bouillie indigeste.
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#6 27-12-2005 22:15:16
- SoS
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
Je me suis dit qu'il te serait plus utile de voir où j'en suis :
1/a1 + 2/(a1+a2) + 3/(a1+a2+a3)+…….+ n/(a1+a2+a3+…+an) < 4 (1/a1+1/a2+.....+1/an)
a1/1 + (a1+a2)/2 + (a1+a2+a3)/3 +…….+ (a1+a2+a3+…+an)/n > (a1+a2+a3+…+an)/4
D'une part dans le membre de gauche on voit qu'il y a la somme des terme de la suite donc on peut simplifier le membre de droite par :
(((a1+an)*n)/2)/4=((a1+an)*n)/8
D'une autre part dans le membre de gauche on voit qu'au dénominateur /1, /2, /3, /4,...,/n il y a une suite. Pour mettre au même dénominateur nous devons multiplier tout les dénominateurs par les dénominéteurs des autres fractions > 1/2+1/4 = (1*4+1*2)/8=6/8=3/4 . On voit donc qu'on va obtenir comme dénominateur commun le factoriel de n. Pour chaque fraction il faut multiplier par le factoriel de n divisé par le dénominateur de la fraction donc on a pour le membre de gauche :
[((a1)*(n!/1))+((a1+a2)*(n!/2))+((a1+a2+a3)*(n!/3))+...+((((a1+an)*n)/2)*(n!/n))]/n!
On obtient donc comme inéquation :
[((a1)*(n!/1))+((a1+a2)*(n!/2))+((a1+a2+a3)*(n!/3))+...+((((a1+an)*n)/2)*(n!/n))]*8 > ((a1+an)*n)*n!
Pour chaque terme de la suite dans le terme de gauche on peut bien sûre remplacer par ((a1+an)*n)/2) en modifiant n et an.
Voilà ce que j'entendais bouillie. J'ai bien sûre été plus loin sans grand résultat et je pense que c'est une des forme de l'inéquation qui peut être le mieux travaillé.
Dernière modification par SoS (27-12-2005 22:23:18)
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#7 03-01-2006 13:09:49
- walid
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
Cher SOS
Tout d'abord, merci pour l'effort que vous déployez pour nous assouvir et rendre âme à notre savoir. Toutefois je comprends par le sens de votre inversion de l'inéquation, car il faut ramener au même dénominateur les deux membres de l'inéquation avant de procéder de la sorte.
Quel niveau vous avez sans complexe?? C’est pas du gâteau ce que j'ai proposé là!!! Car même des mathématiciens universitaires s'en cognent la gueule.
Proposez le à votre prof il vous en dira son avis.
Encore mille merci et sans rancune.
Walid
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#8 13-01-2006 18:34:57
- walid
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
svp aidez moi à trouver solution à ce problème.
Merci de faire des efforts.
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#9 14-01-2006 15:04:04
- eliass
- Invité
Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
tu as essaye l'énégalité (n/a1+a2+..+an)<1/n(1/a1+1/a2+1/a3+...1/an)
#10 23-01-2006 16:37:32
- walid
- Membre
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
tu as essaye l'énégalité (n/a1+a2+..+an)<1/n(1/a1+1/a2+1/a3+...1/an)
non est ce que tu as une idée??
Aide moi stp
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#11 15-02-2006 11:07:12
- walid
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
Alors les amis il n'y'a plus d'Ëinstein pour m'aider. Cet exercice est programmé dans nos livres de math de terminale C au Maroc. Ca veut dire qu'il y'a une solution!!! Laquelle ?? Le prof nous a garanti des points supplémentaires si on trouve la solution même avec l'aide d'autrui.
Merci de m'aider.
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#12 21-02-2006 22:26:47
- John
- Invité
Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
En toute honnêteté, je n'ai pas trouvé ce Pb. très simple... et la solution ''bidouille'' que je propose non plus. D'ailleurs, je ne suis pas certain qu'elle ait la rigueur mathématique exigée d'un niveau bac. Enfin si qq'un trouve une solution plus compliquée, qu'il nous en fasse part.
------------------
La généralité de cette inégalité est conservée si on divise tous les coefficients par a1. On pose (inutilement) :
a1=1, a2=x, a3=y, et a4=z avec 1<x<y<z
ainsi que :
s4=1+x+y+z
q4=3+1/x+1/y+1/z-2/(1+x)-3/(1+x+y)-4/(1+x+y+z).
Tous les termes de l'inégalité sont écrits dans le second membre et il est facile de vérifier que q1, q2, q3 et q4 sont tous >0 quels que soient x, y, et z.
Pour montrer que qn>0 pour tout n>5 et ce, quels que soient les a(i) tels que a(i) < a(i+1), on étudie le terme Dq d'incrémentation de q qui s'écrit :
Dq = q(n) - q(n-1) = 4/a(n) - n/[s(n-1)+a(n)]
Sur lR+, la fonction Dq = 4/x - n/(s+x) est décroissante puis croissante. Elle passe par un minimum Dq* négatif pour x*. On cherche à minorer qn et donc, pour se placer dans le cas pire, c'est a*(n) = x* qu'il faut choisir pour la suite des ai et Dq*(n) qu'il faut ajouter à q(n-1) pour obtenir le plus petit q(n). On vérifie facilement la condition a*(n) > a(n-1).
Le calcul donne :
a*(n) = 2.s(n-1)/(Vn - 2) avec Vn = racine de n ;
Dq*(n) = -[(Vn - 2)^2]/s(n-1)
Pour être effectivement dans le cas pire, il faut procéder de même à chaque incrémentation depuis q4 jusqu'à qn.
On calcule s(n-1) :
s(n-1) = s(n-2) + a*(n-1) = s(n-2) + 2.s(n-2)/(V(n-1) - 2) = s(n-2).[n-1+ 2.V(n-1)]/(n-5)
...
s5 = s4.[5 + 2.V5]/1
On en tire :
s(n-1) = s4.[5 + 2.V5].[6 + 2.V6]...[n-1+ 2.V(n-1)]/(n-5)!
On a aussi :
Dq*(n) = -[(Vn - 2)^2]/s(n-1)
Cette suite négative croissante converge très rapidement vers 0 quelle que soit la constante s4. La série de terme général Dq*(n) converge aussi très rapidement vers environ -0,091/s4.
Il reste à vérifier que q4 - 0,091/s4 > 0.
Or q4 est minimum quand x, y et z deviennent très grands. Le minimum de q4 est de 3 et son maximum est de 8 lorsque x, y et z sont voisins de 1. Le minimum de s4 est de 4.
Conclusion : L'inégalité est vraie quel que soit n et quels que soient les ai croissants.
Bye
#13 17-03-2006 17:25:56
- walid
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
merci de votre apport trés considérable, mais je crois que le niveau de la démonstration ne cadre pas avec le bac C.
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#14 17-03-2006 17:32:53
- walid
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
j'ai oublié de vous dire que personne dans la classe n'a trouvé de solution synonyme de points suppléméntaire. Encore pour la n'ème fois, aidez moi!!!
J'ai vu qu'il y'a énormément de visiteurs de ce forum, mais hélas toujours pas de solution????????????
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#15 27-03-2006 08:42:42
- timothee
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
tu cherche tjrs une repoonse?
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#16 27-03-2006 10:56:08
- walid
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Re : [Résolu] inéquation de suite crtoissante
tu cherche tjrs une repoonse?
Oui bien sur!! Le prof connaissant la difficulté de l'exercice, nous a laissé jusqu'à la fin d'année pour en trouver la solution, synonyme de points supplémentaires. C'est peut'être injuste de sa part, mais bof, l'essentiel c'est la solution pas trouvée jusqu'à présent.
Merci de penser m'aider.
Walid
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