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#1 21-07-2008 19:21:38

ABB
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Arithmétique

Bonsoir

je propose la question suivante
Peut-on résoudre dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation 3x+5y=1 sans recours aux théorèmes d'arithmètiques( comme Bezout, Gauss,......)?

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#2 21-07-2008 19:32:24

yoshi
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Re : Arithmétique

Bonsoir,

A vue de nez comme ça, j'écris que [tex]y\,=\,{{-3} \over 5}x\,+\,{1 \over 5}[/tex]
[EDit]désolé, fausse manip, le "vrai" post est plus bas...


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#3 21-07-2008 19:32:51

tibo
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Re : Arithmétique

bonsoir

tu peux écrire y=(1-3x)/5
et chercher l'ensemble des x pour (1-3x)=5k (est divisible par 5)

je ne vois guère d'autre méthode...


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#4 21-07-2008 19:42:25

yoshi
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Re : Arithmétique

Bonsoir,

A vue de nez comme ça, j'écris que [tex]y\,=\,{-}{3 \over 5}x\,+\,{1 \over 5}[/tex]
Je trouve une solution "évidente" (x ; y) = (2 ; - 1), puis une deuxième (x ; y) = (7 ; - 4), puis une troisième (x ; y) = (12 ; - 7).
Enfin, je montre par récurrence que : [tex]\forall n\,\in\,\mathbb{Z},\;\text{on a : }(x\,;\,y)\,=\,(2+5n\,;\,-1-3n)[/tex]

Réponse acceptée votre honneur ?

@+


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#5 21-07-2008 19:44:36

ABB
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Re : Arithmétique

bonsoir

il s'agit de déterminer les entiers x et y tels que : 3x+5y=1
il existe une méthode pour résoudre cette équation; son début était donné par Mr tibo95640
ce genre d'équations figurent dans le programme du terminal, il se fait avec les thèorèmes de Gauss et Bezout
Ma question avait pour objectif d'ouvrir un débat sur nos conceptions sur l'arithmètique, car il existe un nombre assez important des problèmes d'arithmètique, qui se résolvent sans utiliser des thèorémes d'arithmétique.

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#6 21-07-2008 19:48:21

ABB
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Re : Arithmétique

Bonsoir
Mr yoshi, ton raisonnement n'est pas convaincante, car il ne donne pas toutes les solutions

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#7 21-07-2008 19:52:20

yoshi
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Re : Arithmétique

Re,


Là, je ne suis plus.
D'une part, vous commencez par écrire :

sans recours aux théorèmes d'arithmétique ( comme Bezout, Gauss,......)

Puis après :

ce genre d'équations figurent dans le programme du terminal, il se fait avec les théorèmes de Gauss et Bezout.

Alors avec ou sans Bezout ? Parce que sans Bezout, et sans théorème d'arithmétique, ma réponse est bonne...

@+

[EDIT] Ma réponse est incomplète ??? Diable ! Je verrai ça demain matin...

@+


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#8 21-07-2008 19:59:53

ABB
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Re : Arithmétique

Bonsoir

Lorsque j'ai situé le problème, j'avais l'intention de dire, que malgré ce genre de problèmes figure dans le programme du terminal, sa résolution se fait avec des outils du collège.

Mr yoshi, expliquer moi, comment tu a trouvé la formule de récurrence
En plus ta méthode ne justifie pas la non existence  d'autres solutions

j'insiste qu'il faut résoudre cette équation sans recours aux théorèmes d'arithmètique.

Dernière modification par ABB (21-07-2008 20:29:32)

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#9 21-07-2008 20:21:16

yoshi
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Re : Arithmétique

Bonsoir,

J'ai montré que les 3 exemples cités étaient des solutions.
J'ai supposé que la solution générale (x ; y) = (2+5n ; -1 - 3n) était exacte.
Puis j'ai montré l'héritage pour n + 1, donc que [tex]si\;x\,=\,(2+5(n+1),\; alors\; y\,=\,-1 - 3(n+1)[/tex]  :
[tex]y\,=\,{-}{3 \over 5}\left(2+5(n+1)\,+\,{1 \over 5}\right)[/tex]
[tex]y\,=\,{-}{6 \over 5}\,-3(n+1)\,+\,{1 \over 5}[/tex]
[tex]y\,=\,-1-3(n+1)[/tex]

@+


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#10 21-07-2008 20:31:45

ABB
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Re : Arithmétique

Bonsoir

Mr yoshi, comment tu a trouvé la forme général des solutions?, c'est - à -dire (x;y)=(2+5n;-1-3n)

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#11 22-07-2008 06:50:21

yoshi
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Re : Arithmétique

Bonjour,

1. L'écriture que j'ai utilisée  [tex]y\,=\,{-}{3 \over 5}x\,+\,{1 \over 5}[/tex] est celle de l'équation d'une droite.

2. A partir de là, j'ai tatonné un peu (pas longtemps) pour trouver la 1ere solution (on peut s'aider du tracé de la droite) que j'ai donnée à savoir :
    (x ; y) = (2 ; - 1)

3. J'étais ensuite certain (fonction affine oblige) que les abscisses seraient séparées par un nombre entier. J'ai donc testé x = 3, x = 4, x = 5, x = 6  pour finalement m'arrêter à x = 7 --> (x ; y) = (7 ; -4), puis x = 12 --> (x ; y) = (12, -7). Bien que cela ne figure pas dans mon post, j'avais aussi vérifié pour x = 2 - 5 = - 3 --->(x ; y) = (-3 ; 8)

4. A partir de là, j'ai pu constater qu'à partir d'un x donné je pouvais en donner un autre distant d'un multiple de 5 : j'ai donc vérifié par récurrence que c'était toujours vrai. et j'ai alors formellisé ma réponse :
[tex]\forall n\,\in\,\mathbb{Z},\;\text{on a : }(x\,;\,y)\,=\,(2+5n\,;\,-1-3n)[/tex]

D'où ma surprise lorsque tu as prétendu que j'avais oublié des solutions, ce qui ne me paraît pas possible à cause de
- la condition : x , y sont des entiers relatifs,
- ma réponse donnée avec n qui est un entier relatif,
- les tests qui m'ont prouvé que sur [2 ; 12], il n'y avait aucun autre entier solution que {2,7,12}
- mon utilisation de l'écriture de ton énoncé sous la forme de l'équation d'une droite facilitant son tracé.

@+


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#12 22-07-2008 12:30:18

ABB
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Re : Arithmétique

Bonjour

Mr yoshi, justifier que les solutions que tu a trouvé sont les seuls solutions de cette équation.

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#13 22-07-2008 13:06:41

yoshi
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Re : Arithmétique

Bonjour,

ABB, permets-moi de te "renvoyer" l'ascenseur : trouve moi un contre-exemple.
Je prends le risque : tu n'en trouveras pas avec [tex]x,y\,\in\,\mathbb{Z}[/tex]

Pour moi, la justification est inhérente à la méthode employée : points sur une droite affine avec coordonnées entières.

@+

[EDIt]
Je peux encore écrire [tex]y={-}{1 \over 5}\left(3x-1\right)[/tex]
Donc y est entier si (3x - 1) multiple de 5 donc si 3x multiple de 5 +1 et multiple de 3 :
3x - 1  :  0   5   10   15   20    25    30   35
3x       :  1   6    11  16   21   26    31   36
x         :       2                 7                   12


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#14 22-07-2008 18:17:27

tibo
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Re : Arithmétique

bonjour,

yoshi, je suis entièrement d'accord avec ta démonstration, mais permet moi de te taquiner:

yoshi a écrit :

ABB, permets-moi de te "renvoyer" l'ascenseur : trouve moi un contre-exemple.
Je prends le risque : tu n'en trouveras pas avec [tex]x,y\,\in\,\mathbb{Z}[/tex]

ne trouver aucun contre exemple à une loi n'implique pas que la loi est vraie...

Dernière modification par tibo95640 (22-07-2008 18:17:28)


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#15 22-07-2008 18:26:03

yoshi
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Re : Arithmétique

Salut,

Vrai, si tu précises "Ne pas réussir à trouver" ! Que je ne puisse pas trouver de contre-exemple peut être dû à des "limitations intellectuelles" et non à sa "non-existence". Alors je précise ma phrase : << Tu n'en trouveras pas (parce qu'il n' y en a pas) avec ... >>

Mais il me semble qu'à partir du moment où j'ai un contradicteur qui me dit que je ne donne pas toutes les solutions, il m'est licite de rétorquer : << Ah bon ? Citez-moi un couple qui ne figure pas dans ma solution. >>
Sinon, ça équivaut à dire << C'est faux parce que je dis que c'est faux. >>

@+


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#16 22-07-2008 18:33:24

tibo
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Re : Arithmétique

je sais c'était juste pour te taquiner


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#17 22-07-2008 19:09:14

ABB
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Re : Arithmétique

Bonsoir
Je n’ai pas pensé à chercher un contre-exemple, car je sais parfaitement que les seules solutions de l’équation proposée sont parfaitement connues.

Mr yoshi, ton approche de la solution de cette équation est juste, mais tu n'a pas présente une méthode formelle, permettant de conclure que les seules solutions de cette équation sont parfaitement trouvées par ton approche
Est-ce que tu peux utiliser la même approche pour résoudre l’équation 2003x+47y=1 par exemple. autrement dit est-ce que tu peux généraliser ton approche .

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#18 22-07-2008 20:13:00

yoshi
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Re : Arithmétique

Bonsoir,

Pourquoi ne serait-ce pas possible ? Les calculs sont justes un petit peu moins évidents, c'est tout.

[tex]y={-}{1 \over 47}\left(2003x - 1\right)[/tex]

2003x-1    26038     120179      214320   
2003x       26039     120180      214321
x                13           60             107

(x ; y) = (13 + 47k ; -554-2003k), avec k entier relatif

@+

PS : tu peux te dispenser du Mr, on est entre amateurs de Maths...
(De plus, j'ai une marotte : je signale systématiquement que Mr est l'abréviation de Mister qui est un mot anglais. L'abréviation de Monsieur est M. (M suivi d'un point). ;-)


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