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#1 15-01-2007 17:50:26
- anas
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Conjecture De Syracuse
CONJECTURE DE SYRACUSE
Soit N un entier naturel.
Si N est pair, on le divise par 2.
Si N est impair, on le multiplie par 3 puis on l'ajoute 1.
En suivant cette algorithme (H) pour tout N de IN, on aura à la fin.
Mais pourquoi ?
Dans cet essai on va donner une démonstration pour affirmer la conjecture de SYRACUSE.
On dit que x vérifie la conjecture de SYRACUSE si en suivant l'algorithme (H) On aura à la fin 1.
On a IN : l'ensemble des entiers naturelles.
On définie les suites suivantes.
Soient f: IN ----------¤ IN ET: g: IN ---------¤ IN
n --------¤ n / 2 n -------¤ 3 n + 1
Soit: U: IN ---------¤ IN
. n --------¤ f (n) * g (n)
(*) : Signifie ou bien f (n) ou bien g (n).
Son tableau de vérié est :
f (n) g (n) f (n) * g (n)
V V F
V F V
F V V
F F F
(n) vérifie la conjecture de SYRACUSE est équivaut à : il existe t appartient à IN tel que U0U0....0U=1. (On a composé t (U)).
Soit K un élément de IN.
On va montrer par récurrence sur K que M = 8k+4 vérifie la conjecture de SYRACUSE.
Pour K=0, on a :M=4 et fof (M)=1.
Pour K : On suppose que M =8K+4 vérifie la conjecture, c à d, il existe m de IN tel que :
U0U.. U0U (M) = 1. (m compositions de (U))
On a: f0g0f0f (8K+4) = 3K+2
Alors : (U0..0U)0(f0g0f0f) (8K+4) = 1 (m-4 compositions de (U))
On pose : V = U0...0U (m-4 compositions de (U))
D'ou il existe une suite V tel que : V (3k+2) = 1. Pour tout K de IN.
Pour k+1 : on a : M' = 8(K+1) +4 = 8K+12.
On a (f0g0f0f)(8K+12) = 3K+5 = 3(K+1) +2
On pose K+1 = K'; alors (f0g0f0f) (M') = 3K' +2 avec : K' appartient à IN.
D'ou V0(f0g0f0f) (M') = 1.
Donc il existe m' de IN tel que :
U0U0.. 0U0U (M') = 1. (m' compositions de (U))
D'ou M' vérifie lui aussi cette conjecture.
Selon le principe de récurrence la classe M= 8K+4 vérifie la conjecture de SYRACUSE.
Alors : il existe t appartient à IN tel que U0...0U (M)=1. (On a composé t (U)).
On a f0f (8K+4) = 2K+1 et U0...0U0f0f (M)=1. (On a composé t-2 (U)).
On pose W = U0...0U (On a composé t-2 (U)).
D'ou W (2K+1) = 1 pour tout K de IN.
Alors il existe s = t-2 de IN tel que :
U0...0U(2K+1) =1. Pour tout K de IN (On a composé s (U)).
Alors tous les nombres impairs de IN vérifient la conjecture de SYRACUSE.
Si on a un nombre pair M'=2K (K de IN) alors : on divise M¡¯ par 2 jusqu'on obtient un nombre impair.
Alors il existe m' de IN tel que : f0f.....0f M' = 2p +1, (On a compos¨¦ m'(f)). (P de IN)
Donc (U0...0U)0(f0f0...0f) M' = U0...0U (2p +1)=1.
D'ou il existe z de IN tel que : U0U.. 0U0U (2k) =1 (On a composé z (U)).
Alors tous les nombres pairs de IN vérifient la conjecture de SYRACUSE.
Finalement tous les nombres de IN v¨¦rifient la conjecture de SYRACUSE.
Par : BEN KHOUYA ABDENASSER
E-mail : monadressecorrecte@hotmail.fr
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