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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 22-05-2014 11:46:14
- totomm
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Plier, déplier : facile ?
Bonjour,
Soit un rectangle de papier OABC posé sur une table horizontale.
Son grand coté [OA] a pour longueur [tex] L=2^n[/tex].
Les cotés [AB] et [0C] ont une petite longueur quelconque et l'épaisseur est négligeable.
On fixe un repère orthogonal xOy verticalement tel que A soit sur l'axe des abscisses Ox.
On plie la bande en amenant A sur O, et l'on replie à nouveau, au total n fois.
On obtient donc [tex] 2^n[/tex] feuillets empilés sur le segment [0,1] de l'axe Ox.
On ouvre maintenant à angle droit ( donc de 90°) chaque pli successivement.
Quelles vont être les coordonnées finales du point A ?
Comment caractériser la courbe dessinée sur le plan xOy par la bande de papier entièrement dépliée ?
Question subsidiaire : Quelle valeur peut atteindre le nombre de pliages n sur une feuille réelle de très petite épaisseur ?
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#3 23-05-2014 16:09:37
- MathRack
- Membre
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Re : Plier, déplier : facile ?
Bonjour,
La ressemblance est frappante : http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_du_dragon
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#4 23-05-2014 22:33:39
- totomm
- Membre
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- Messages : 1 093
Re : Plier, déplier : facile ?
Bonsoir,
Bonne référence !
J'ai simplement ressorti un exercice de programmation que j'avais pratiqué entre 1975 et 1980 lors d'un apprentissage en LISP.
Reste à montrer que l'affixe de A vaut [tex](1+i)^n[/tex]. (Facile)
Dernière modification par totomm (23-05-2014 22:35:34)
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#5 25-05-2014 17:17:23
- tibo
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Re : Plier, déplier : facile ?
Salut,
très intéressant !
Et je ne m'attendais vraiment pas à ça !
Je n'avais aucune idée de quelles pouvaient etre les coordonnées, mais maintenant que totomm a donné la solution je vais y réfléchir.
Dernière modification par tibo (25-05-2014 17:20:03)
A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !
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#6 27-05-2014 09:05:29
- totomm
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- Messages : 1 093
Re : Plier, déplier : facile ?
Bonjour,
On "voit" bien sur ces belles figures publiées par tibo que [tex](1+i)^{17}=(1+i)^{16} (1+i)[/tex]
D'ou la validité de la formule par récurrence depuis le premier "dépliage"
Exercice amusant sur le "plan complexe" tout à fait du niveau Terminale S-Lycée
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