Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 22-05-2014 11:46:14

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Plier, déplier : facile ?

Bonjour,

Soit un rectangle de papier OABC posé sur une table horizontale.
Son grand coté [OA] a pour longueur [tex] L=2^n[/tex].
Les cotés [AB] et [0C] ont une petite longueur quelconque et l'épaisseur est négligeable.

On fixe un repère orthogonal xOy verticalement tel que A soit sur l'axe des abscisses Ox.
On plie la bande en amenant A sur O, et l'on replie à nouveau, au total n fois.
On obtient donc [tex] 2^n[/tex]  feuillets empilés sur le segment [0,1] de l'axe Ox.

On ouvre maintenant à angle droit ( donc de 90°)  chaque pli successivement.
Quelles vont être les coordonnées finales du point A ?

Comment caractériser la courbe dessinée sur le plan xOy par la bande de papier entièrement dépliée ?

Question subsidiaire : Quelle valeur peut atteindre le nombre de pliages n sur une feuille réelle de très petite épaisseur ?

Hors ligne

#2 23-05-2014 15:38:25

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Plier, déplier : facile ?

Bonjour,

Exemple de courbe obtenue avec Python / turtle  : Courbe autosécante qui ne se traverse pas.

14052304430415517012260615.png

Hors ligne

#3 23-05-2014 16:09:37

MathRack
Membre
Inscription : 02-04-2012
Messages : 78

Re : Plier, déplier : facile ?

Bonjour,

La ressemblance est frappante : http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_du_dragon

Hors ligne

#4 23-05-2014 22:33:39

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Plier, déplier : facile ?

Bonsoir,

Bonne référence !
J'ai simplement ressorti un exercice de programmation que j'avais pratiqué entre 1975 et 1980 lors d'un apprentissage en LISP.
Reste à montrer que l'affixe de A vaut [tex](1+i)^n[/tex].  (Facile)

Dernière modification par totomm (23-05-2014 22:35:34)

Hors ligne

#5 25-05-2014 17:17:23

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : Plier, déplier : facile ?

Salut,
très intéressant !
Et je ne m'attendais vraiment pas à ça !

voici les graphiques pour
n=16
mini_420856pli16.png

n=17
mini_894242pli17.png

Je n'avais aucune idée de quelles pouvaient etre les coordonnées, mais maintenant que totomm a donné la solution je vais y réfléchir.

Dernière modification par tibo (25-05-2014 17:20:03)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Hors ligne

#6 27-05-2014 09:05:29

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Plier, déplier : facile ?

Bonjour,

On "voit" bien sur ces belles figures publiées par tibo que [tex](1+i)^{17}=(1+i)^{16} (1+i)[/tex]
D'ou la validité de la formule par récurrence depuis le premier "dépliage"
Exercice amusant sur le "plan complexe" tout à fait du niveau Terminale S-Lycée

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quaranteneuf moins trente deux
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums