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#1 02-04-2012 23:36:57
- MathRack
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Moment d'ordre m et symétrie plane
Bonsoir,
J'ai un peu de mal à généraliser un raisonnement...
On se place dans [tex]\mathbb{R}^3[/tex]. On a [tex]n-1[/tex] vecteurs [tex]r_i[/tex] et [tex]m[/tex] vecteurs [tex]a_\alpha[/tex]. On a également [tex]n \leq m[/tex]. On note [tex]Q^{(m)}(r_1, ..., r_{n-1})[/tex] le tenseur d'ordre [tex]m[/tex] de composantes [tex]{Q^{(m)}}_{i,j,...,p}(r_1, ..., r_{n-1})[/tex]. On note [tex]Q[/tex] la fonction définie ci-dessous :
[tex]Q(r_1, ..., r_{n-1},a_1, ..., a_m) = \sum_{i,j,...,p}{(a_1)}_i {(a_2)}_j ... {(a_m)}_p {Q^{(m)}}_{i,j,...,p}(r_1, ..., r_{n-1})[/tex]
Le problème consiste à exprimer les composantes de [tex]Q^{(m)}[/tex] en fonction des [tex]r_i[/tex] lorsqu'on a des invariances par symétrie :
* symétrie par rapport au plan y=0
* symétrie par rapport aux plans y=0 et z=0
J'ai réussi pour n et m jusqu'à 2 avec une et 2 symétries mais je vois pas comment généraliser. Mon procédé est peut-être faux / bancale, je détaille ci-dessous le cas [tex]n=m=2[/tex] pour les 2 plans de symétrie.
Q est linéaire et homogène par rapport aux [tex]a_\alpha[/tex]. On note [tex]r_1=r[/tex] et [tex](a_1,a_2)=(a,b)[/tex]. Les invariants trouvés qui permettent des combinaisons linéaires et homogènes par rapport à a et b sont :
[tex]\{r_x, r_y^2, r_z^2, a_x, a_yr_y, a_yb_y, a_zr_z, a_zb_z, b_x, b_yr_y, b_zr_z\}[/tex].
On en déduit par exemple l'invariant [tex]c_{xx}(r_x, r_y^2, r_z^2)a_xb_x[/tex] qui donne le terme [tex]Q^{(2)}_{x,x}(r)=c_{xx}[/tex].
La matrice que je trouve pour le moment d'ordre 2 est :
[tex]Q^{(2)}(r)=\left( \begin{array} & & \\ c_{xx} & c_{xy}r_y & c_{xz}r_z \\
c_{yx}r_y & c_{yy} + d_{yy}r_y^2 & c_{yz}r_yr_z \\
c_{zx}r_z & c_{zy}r_yr_z & c_{zz} + d_{zz}r_z^2 \end{array} \right)[/tex]
Les fonctions [tex]c_{ij}[/tex] et [tex]d_{ij}[/tex] sont un peu quelconques et ne dépendent pas de a, b, ou du signe de [tex]r_y[/tex] ou [tex]r_z[/tex].
Je n'arrive pas à formaliser le cas général et à lister les invariants. Une petite idée?
Merci
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