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#151 07-08-2011 13:33:36

nerosson
Membre actif
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Re : Les vases communicants ...

Salut à tous,

y ont pas bientôt fini de communiquer vos sacrés vases communicants ?

Ca me rappelle l'histoire de la bonne femme qui avait traîné son gosse de cinq ans à un récital de violoncelle :
le gosse : "Dis, maman, le monsieur, il a pas bientôt fini de scier sa petite armoire ?"

Dernière modification par nerosson (07-08-2011 13:35:35)

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#152 07-08-2011 17:39:03

totomm
Invité

Re : Les vases communicants ...

Bonsoir,

Mais, cher ami nerosson, chacun sait dans ces communications ce que font les autres, et les airs qui sont joués sont tout à fait entendus malgré les apparences !

Cordialement.

#153 07-08-2011 18:52:02

nerosson
Membre actif
Inscription : 21-03-2009
Messages : 1 658

Re : Les vases communicants ...

Salut à tous,

Te bile pas, mon bon Totomm, la critique était plutôt amicale, et elle avait surtout pour but d'injecter un peu fantaisie dans une discussion plutôt austère.

Et puis je crois que si je n'avais pas un peu chahuté une discussion inaugurée par freddy, ça l'aurait perturbé : il se serait dit : "il baisse, l'ancêtre, il commence à pencher du côté qu'il va tomber !"

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#154 08-08-2011 13:16:56

freddy
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Re : Les vases communicants ...

totomm a écrit :

Bonjour,

La solution mathématique, tout en étant incontestable, ne semble pas traiter les dépassements de B qui doit toujours rester dans l'intervalle [0, 3n] .
On peut certainement programmer un algorithme qui cherche une liste convenable, mais, en l'absence d'indications qui complèteraient cette solution mathématique, il lui faudrait itérer dans la génération de chacun des pas, sans même être certain qu'il existe une liste qui convienne pour tout n, sans débordement de B.
Mais je suis prêt à programmer s'il est démontrable, a priori, qu'une telle liste existe.

J'ai préféré présenter une solution par "suites récurrentes", car chacune de ces suites allant de m à  n, leur algorithme de construction montre qu'aucun pas ne débordera de l'intervalle  [0, 3n].

Salut,

je peux me tromper, j'ai l'impression que tu confonds mathématique et automatique.

On a montré qu'une solution existe pour tout n entier différent de 1,2 et 4.

Ensuite, si on veut la trouver via un logiciel de calcul, il faut bien entendu concevoir un pgm qui intègre les contraintes de résolutions auxquelles on se soumet "naturellement" quand on le fait avec un crayon et une gomme.

Dans le cas de n=13, j'ai tout simplement remplacé 11+3 par la somme ad hoc la plus proche : 9+5 puisque on ne peut se trouver avec une urne avec un nombre négatif de balle de golf, ce que ton pgm de recherche a fait.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#155 08-08-2011 13:21:47

freddy
Membre chevronné
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Messages : 7 457

Re : Les vases communicants ...

nerosson a écrit :

Salut à tous,

Te bile pas, mon bon Totomm, la critique était plutôt amicale, et elle avait surtout pour but d'injecter un peu fantaisie dans une discussion plutôt austère.

Et puis je crois que si je n'avais pas un peu chahuté une discussion inaugurée par freddy, ça l'aurait perturbé : il se serait dit : "il baisse, l'ancêtre, il commence à pencher du côté où il va tomber !"

Il penche déjà, non ?

Ton esprit sagace n'a même pas cherché à esquisser le début du commencement d'une critique constructive. Préviens Bernadette, ta moitié d'orange, qu'elle commence à chercher ton remplaçant pour ne pas avoir froid au lit, et dis lui de sortir Bernard de la commode du lavoir : depuis le temps, il doit être complètement desséché !
;-)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#156 11-09-2011 20:08:34

totomm
Membre
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Messages : 1 093

Re : Les vases communicants ...

Bonsoir,

@jpp :
J'ai repris votre synthèse au post #144 (08/07/2011) pour les nombres de la forme p(p+1)/2.
Je vois bien les 2 exemples n=10 et n=15, mais cela ne me donne pas la méthode générale que j'appliquerais pour n=36 ou 78 (cas n et p pairs) ni pour n=45 ou 91 (cas n et p impairs)
Je n'ai pas non plus de méthode générale pour n et p de parités différentes.

Si la méthode est décrite précédemment, donnez-moi simplement les numéros des posts.

Je pense ne regarder le post #145 (avec q ou a) qu'après avoir bien testé les résultats du post #144.

Merci. Cordialement.
Note : Vous pouvez ouvrir une autre discussion si prolonger celle-ci pose des problèmes…

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#157 23-02-2015 23:27:14

Zorglub
Invité

Re : Les vases communicants ...

Je suis tombé sur ce problème, et avoue ne pas avoir lu en détail tous les échanges.
Le dernier message suggère qu'on n'a pas donné de solution générale.  En voici une.
Un premier résultat :

———————
Lemme:  Soit [tex]n > 0[/tex] et [tex]a \geq 0[/tex] des entiers tels que [tex]a(a+1) / 2 \leq n[/tex]
    Pour toute paire d’entiers [tex]u \geq 0[/tex] et [tex]v \geq 0[/tex] avec [tex]u+v = a(a+1)/2[/tex],
    il y a façon à partir de [tex][3n ; 0 ; 0][/tex] d’arriver à [tex][3n-u-v; u; v][/tex]
    en exactement [tex]a[/tex] étapes.

La démonstration se fait par induction sur [tex]a[/tex].
———————

Montrons maintenant comment partir de [tex][3n; 0 ; 0 ][/tex] et d’arriver à [tex][n; n ;n][/tex] en exactement [tex]n[/tex] étapes, lorsque [tex]n \geq 12[/tex].
Note : on a besoin des conséquences suivantes dans la preuve, les cas avec [tex]n[/tex] inférieur à [tex]12[/tex] peuvent se faire à la main.

Soit [tex]n \geq 12[/tex], posons
    [tex]a[/tex] le plus grand entier tel que [tex]a(a+1) / 2 \leq n[/tex]
    [tex]b := n - a(a+1) /2[/tex]   et donc [tex]0 \leq b \leq a[/tex]
    [tex]c := n - a - 2b[/tex]

Puisque [tex]n \geq 12[/tex] on a alors
    [tex]a \geq 4[/tex]
    [tex]n \geq 3a[/tex]
    [tex]c \geq 1[/tex]

Brisons la démarche en deux cas disjoints.

SI [tex]c[/tex] EST IMPAIR:
{
    alors [tex]u := n-b-(c-1)/2[/tex] et[tex] v := (c-1)/2[/tex] sont des entiers positifs (découle du fait que [tex]n \geq 12[/tex])

    Le lemme assure qu’on peut passer de [tex][3n; 0; 0][/tex] à [tex] [2n+b ; u ; v ][/tex] en [tex]a[/tex] étapes

    En alternant des transferts entre les 2 premiers récipients on arrive en [tex]2b[/tex] étapes
    supplémentaires à [tex][ 2n ; n - v; v][/tex].

    En alternant des transferts entre les 2 derniers récipients on arrive en [tex] c-1 = 2v[/tex] étapes
    supplémentaires à [tex] [ 2n ; n; 0][/tex]

    À date on a un total de [tex]a+ 2b + c-1 = n-1[/tex] étapes de faites. 
    Un dernier transfert du premier au dernier récipient donne[tex] [n; n; n][/tex] comme désiré.
}
   
SI [tex]c \geq 2[/tex] EST PAIR:
{
    alors [tex]u := n-a—b-c/2[/tex] et [tex]v := a+c/2[/tex] sont des entiers positifs (découle du fait que [tex]n \geq 12[/tex])

    Le lemme assure qu’on peut passer de [tex][3n; 0; 0][/tex] à [tex][2n+b ; u ; v ][/tex] en [tex]a[/tex] étapes

    Un transfert du premier au deuxième récipient donne [tex][2n+b; n-b-(c-2)/2; (c-2)/2][/tex].

    En alternant des transferts entre les 2 premiers récipients on arrive en [tex]2b[/tex] étapes
    supplémentaires à [tex][ 2n ; n-(c-2)/2; (c-2)/2][/tex].

    En alternant des transferts entre les 2 derniers récipients on arrive en [tex]c-2[/tex]  étapes
    supplémentaires à [tex][ 2n ; n; 0][/tex]

    À date on a un total de [tex]a+ 1+ 2b + c-2 = n-1[/tex] étapes de faites. 
    Un dernier transfert du premier au dernier récipient donne [tex] [n; n; n][/tex] comme désiré.
}

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