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#52 27-04-2011 18:44:36
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
Bonsoir.
J'ai trouvé une stratégie . Elle vaut ce qu'elle vaut , et je vais quand meme vous la soumettre.
Après .....
tout nombre entier peut s'écrire [tex]n = \frac{p.(p+1)}{2}\pm{r}[/tex]
alors une valeur [tex]p[/tex] qui donne une valeur de [tex]\frac{p.(p+1)}{2}[/tex] la plus proche
de [tex]n[/tex] est solution de l'équation [tex]p^2 + p - 2n = 0[/tex]
alors [tex]p = \frac{-1 + \sqrt{1+8.n}}{2}[/tex]
ainsi par exemple pour [tex]n = 21 ----> p = 6 ; n = 19 ----> p = 6 ; r = - 2[/tex]
c'est surtout utile pour les grands nombres
au départ on a :[tex]U_0 = 3n U_1 = 0 U_2 = 0[/tex]
maintenant je commence à vider [tex]U_0[/tex] jusqu'à la valeur [tex]\frac{p.(p+1)}{2} = n \pm{r}[/tex]
il me reste donc [tex](n-1-p)[/tex] transferts à effectuer avant le coup final
le nombre [tex](n-1-p)[/tex] , sera composé de blocs de 4 nombres et parfois d'un bloc de 2 nombres
il y aura surtout des bloc (4) neutres , c-a-d des blocs 0 [tex](-a + b + c - d)[/tex]
des bloc (4)(-2) [tex]----> (a - b + c - d)[/tex]
des blocs (4)(+2)[tex]-----> (-a + b - c + d)[/tex]
des bloc(2)(-1)[tex]----> ( a - b)[/tex]
et des blocs(2)(+1) [tex]---> ( - a + b)[/tex]
Je prend un exemple [tex]n = 21 ----> p = 6[/tex]
je constate que derrière il me reste [tex]( n - 1 - p ) = 14[/tex] transferts à effectuer et je me
retrouve avec 3 blocs(4) et un bloc(2)
alors je place la première boule dans l'urne [tex]U_3[/tex] qui servira à la fin
je me retrouve donc avec 20 boules en [tex]U_1[/tex] et 1 boule en [tex]U_2[/tex]
à l'avant dernière étape je veux avoir [tex]2.n = 42[/tex] alors il me faut un bloc(4)(-2)
le transfert s'écrit
[tex]2.n = 42 = (1 ->U_3) + (2 + 3 +....+6)+[(7-8+9-10) + (11-12-13+14) + ( -15+16+17-18)]->U_2[/tex]
il me reste à placer [tex]19 ---> U_3 et 19 + 1 = 20 U_3 ---> U_2[/tex] qui doit faire 42
Dernière modification par jpp (27-04-2011 21:32:53)
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#53 27-04-2011 18:51:44
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
re
j'ai essayé 2 ou 3 nombres avec cette statégie qui je pense peut fonctionner avec [tex]N - (1 , 2 , 4 )[/tex]
dans la plupart des cas il faut uniquement utiliser 2 urnes et jouer avec les blocs pour avoir [tex]n ---> U_1
2n ---> U_0[/tex] avant le coup final.
Dernière modification par jpp (27-04-2011 18:55:21)
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#54 27-04-2011 21:07:38
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
re.
exemple [tex]n = 500 ----> p = 31 et r = -4[/tex]
alors [tex]n - 1 - p = 468 ----> 117[/tex] blocs(4) dont 115 blocs(0) et 2 blocs(-2)
et [tex]n = ( 1 + 2 +...... 31) + (-32 + 33 - 34 + 35) + (-36 + 37 - 38 + 39) + 115blocs(0) = 496 + 2 + 2 + 115\times{0} = 500[/tex]
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#55 28-04-2011 09:24:10
- totomm
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Re : Les vases communicants ...
Bonjour,
@jpp : Votre démarche va dans le même sens que la récurrence que je sais maintenant appliquer à tout nombre N, mis sous la forme N=3n+r, avec r=-1 ou 0 ou+1. Le plus difficile a été de trouver le traitement pour r=+1
A+ Cordialement
#56 28-04-2011 19:07:20
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
Bonsoir.
de la forme 3n + 1 il y a 13
alors. [tex]2.n = (1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (- 8 + 9 + 11 - 12 )[/tex] parce que j'ai placé 2 boules
dans [tex]U_3[/tex] puis les 10 boules de [tex]U_0------>U_3[/tex] il y a donc 12 boules en[tex]U_3[/tex]
ensuite 11 boules de [tex]U_3------->U_1[/tex] et 12 boules de[tex]U_1---->U_3[/tex]
avec [tex]n = 19 n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)+ (+ 7 - 8 + 9 - 10) + (- 11 + 12 + 13 - 14)+(-15 +16+17-18)[/tex]
le premier groupe donne 21 , le second est donc un (-2) et les 2 derniers des (0)
je vais essayer avec un nombre plus grand.
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#57 28-04-2011 19:27:25
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
re.
avec[tex]n = 100 (1 + 2+ 3 +.... 13) = 91 = 100 - 9[/tex]
il y a donc un déficit de 9 boules mais derrière il y a un bloc(2) et 21 bloc(4) et en prenant le bloc(2)(+1)
[tex]( -14 + 15)[/tex] et[ 2 blocs(4) (+4) ou 4 blocs(4) (+2) il vient:
[tex]n = 100 = (1+2+3+.....+13) + (- 14 + 15 )+(-16+17-18+19)+(-20+21-22+23)+(-24+25-26+27)[/tex]
[tex]+(-28+29-30+31)+17\times{blocs(4)(0)}[/tex]
Dernière modification par jpp (29-04-2011 17:03:03)
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#58 01-05-2011 04:28:43
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
Bonjour
voilà , je pense que si [tex]\frac{n.(n-1)}{2} = a\times{n} + r[/tex]
alors je place uniquement 2 puis r-1 pour faire r+1 dans l'urne 2
ensuite en fonction de la parité de (a) on alterne entre U0 ET U1 en ayant pris soin de
basculer r de U2-----> U0 afin qu'il ne reste plus que 1 dans U1.
à (n-1) on place n-1 dans U1 qui donne n dans U1 et 2n dans l'une ou l'autre des 2 autres
urnes.
Dernière modification par jpp (01-05-2011 20:08:26)
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#59 02-05-2011 11:52:22
- freddy
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Re : Les vases communicants ...
Salut jpp,
ta pugnacité et tes résultats forcent mon admiration.
Une petite question toutefois : quelles conditions imposes tu au facteur a et au reste r ?
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#60 02-05-2011 17:10:42
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
Bonsoir Freddy et les autres
Voilà, je rebascule [tex]r[/tex] de[tex]U_2 ---> U_0[/tex] pour les nombres [tex]n[/tex] tels que:
[tex]\frac{n.(n-1)}{2} = a.n + r[/tex] ou [tex]a = \frac{n}{2} - 1[/tex] et [tex]r = \frac{n}{2}[/tex]
donc pour [tex]n[/tex] pair avec [tex]a > 2[/tex] et [tex]r > 3[/tex]car avec 6 on ne remonte pas [tex]r -->U_0[/tex]
[tex]si S = \frac{n.(n-1)}{2} --> n = 6 ---> S = 2n + 3 n = 8 ---> S = 3n + 4 n = 10 ---> S = 4n + 5 ... etc ...[/tex]
par contre pour [tex]n = 14 \frac{n.(n-1)}{2} = a.n = 6.n +7[/tex] j'ai transféré [tex]n = 7[/tex]
de [tex]U_2 ----> U_1[/tex] avec (8 , 9 , 10 , 11) en bloc 4(-4) de [tex]U_0 ---> U_1[/tex]
Dernière modification par jpp (09-05-2011 20:49:03)
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#61 02-05-2011 23:32:36
- totomm
- Invité
Re : Les vases communicants ...
Bonsoir,
J'ai une démonstration de la possibilité et de la méthode d'un transfert pour tout nombre N de la forme 3n ou 3n-1 ou 3n+4 (équivalent de 3n+1 ou 3n-2):
La méthode est extrèmement simple pour 3n et 3n-1
La méthode est très simple encore pour les nombres N exprimés en 3n+4 avec n pair.
Je bute donc encore sur la généralisation de la démonstration pour les nombres N=3n+4 avec n impair, bien que ces nombres aient pas mal de solutions...
@freddy et jpp : Avez-vous une solution pout tout nombre N ?
Cordialement
#62 03-05-2011 06:42:56
- freddy
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Re : Les vases communicants ...
Salut,
je pense que jpp tient le bon bout, non ?
Il a une stratégie qui semble fonctionner, reste la mettre en oeuvre à partir d'un certain rang (j'ai vérifié que c'était bon pour quelques cas où r > 0, il manque la preuve générale).
A plus !
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#63 03-05-2011 23:19:34
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
bonsoir
la stratégie du poste #58 concernant les nombres pairs avec r non nul est conservée
par contre celle concernant leurs voisins impairs , elle , diffère .
en effet , entre une partie n et une partie (n+1) il y a un tranfert de plus qui est (n+1)
alors pour les nombres impairs (n+1) je ne remonte plus r --> U0 mais [tex]\frac{n}{2}+1 de U_2 --> U_1[/tex] en ayant placé
[tex]2 et \frac{n}{2} --> U_2[/tex] au préalable et il reste [tex]1[/tex] dans [tex]U_2[/tex]
exemple n = 10 --> r = 5 et n+1 = 11 [tex]\frac{n}{2}-1 = 6[/tex]
si bien que [tex]r + \frac{n}{2} + 1 = \frac{n}{2}+\frac{n}{2}+1 = n+1 = 11[/tex]
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#64 04-05-2011 08:04:43
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
Bonjour
entre 2 nombres pairs , donc 2 nombres ou la totalité des transferts à n-1 est[tex]\frac{n.(n-1)}{2}= S_n[/tex]
alors si[tex]N = n + 2 --> S_{N} - S_{n} = 2n + 1[/tex] . mais aussi [tex]r_{N} et r_{n}[/tex]diffèrent de 1
donc si ça marche pour [tex]a.n[/tex] ça doit marcher aussi pour [tex](a + 2).n[/tex]
Dernière modification par jpp (04-05-2011 08:09:03)
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#65 04-05-2011 11:45:27
- freddy
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Re : Les vases communicants ...
Salut jpp,
quand n est pair, alors [tex]0 <r < n[/tex], puisque [tex]\frac{n}{2}\times (n-1)[/tex] n'est pas divisible par n.
On a dans ce cas : [tex]a=r=\frac{n}{2}[/tex]
Par contre, quand n est impair, alors r est toujours nul, car [tex]n\times \frac{n-1}{2}[/tex] est bien divisible par n.
De fait, [tex]a=\frac{n-1}{2}[/tex]
Donc peux tu résumer ta stratégie, stp ?
Dernière modification par freddy (04-05-2011 17:31:38)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#66 04-05-2011 17:37:58
- totomm
- Invité
Re : Les vases communicants ...
Bonjour,
@freddy et jpp :
Pourriez-vous re-synthétiser les nombres que vous savez traiter et ceux pour lesquels vous n'auriez pas de solutions. Et redonner éventuellement vos démarches sous une forme "générale" ligne à ligne (les urnes étant appelées A B et C)
du genre ci-dessous qui est une solution pour n = 3p-1 :
étape p-1, A = 8p-3, B = p, C = 0, somme = 3(3p-1) Résultat supposé obtenu par "récurrence"
étape p, A = 7p-3, B = 2p, C = 0, somme = 9p-3
Si maintenant on groupe les transferts par 2, B diminue puis se retrouve augmenté de 1, en vérifiant que jamais (A ou B ou C) < 0 ni (A ou B ou C) > Somme) :
étape p+1, A = 8p-2, B = p-1, C = 0, somme = 9p-3
étape p+2, A = 7p-4, B = 2p+1, C = 0, somme = 9p-3
De l'étape p+1(non comprise) à l'étape 3p-3 (comprise), il y a 2p-4 étapes, soit p-2 groupes de 2 étapes, donc B va devenir : (p-1)-(p-2) = 1. ainsi :
étape 3p-3, A = 9p-4, B = 1, C = 0, somme = 9p-3
étape 3p-2, A = 6p-2, B = 3p-1, C = 0, somme = 9p-3
soit : étape n-1, A = 2n, B = n, C = 0, somme = 3n (Ce Qu'il Fallait Obtenir)
Je serais heureux d'avoir une solution pour les nombres n=3p+4 avec n impair !
Cordialement
#67 04-05-2011 18:22:01
- yoshi
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Re : Les vases communicants ...
Bonsoir
@totomm: C'est hors-sujet, mais je ne vais pas m'étendre.
Sais-tu jouer aux échecs ? Si non, souhaites-tu apprendre ?
Si oui, j'ai rédigé un petit fascicule A5 en pdf de 36 pages (distribuée aux mômes que j'entraîne de mon ex-bahut).
En veux-tu (Précision, si d'autres en veulent, manifestez-vous) ?
Je viens enfin de mettre la main sur un exemple d'Analyse rétrograde assez didactique.
J'ai l'intention de le poster en te le dédiant...
Cela dit, freddy et jpp, je suis aussi preneur d'une synthèse de vos travaux parce que j'ai décroché..
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#68 04-05-2011 18:52:13
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
Salut à tous.
@ Freddy tu as écrit :
Quand [tex]n[/tex] est pair [tex]a = r = \frac{n}{2}[/tex]
ce ne serait pas plutot [tex]\frac{n.(n+1)}{2} = \frac{n}{2}\times{n} + \frac{n}{2}[/tex]
et [tex]\frac{n.(n-1)}{2} =\left [\frac{n}{2}-1\right]\times{n} + \frac{n}{2}[/tex]
ex: [tex]n = 10 --> \frac{n.(n-1)}{2} = 4n + 5 = 45 et si n = 12 -->\frac{n.(n-1)}{2} = 5n + 6 = 66[/tex]
lorsque [tex]n[/tex] est pair alors [tex]r = a+1 = \frac{n}{2}[/tex]
et pour [tex]n[/tex] pair on a toujours [tex]r = \frac{n}{2} et a = \frac{n}{2} - 1[/tex]
et lorsque [tex]n[/tex] est impair on a [tex]a = \frac{n - 1}{2}[/tex]
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#69 04-05-2011 19:24:46
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
re.
@ Totomm
tu veux un développement pour un nombre de la forme [tex]n = 3p + 4[/tex]
[tex]n = 19[/tex]
A = 0 total B = 57 total C = 0 total
B----> +2 +9 = 11 11 34 B-----> +1 +3 -4 +5 +6 -7 +8 = 12
C <----- - 10 1 A-----> 10 22
[tex]10=\frac{n-1}{2}[/tex]
35 B -----> -11 +12 +13 -14 +15 -16 21
bloc(-1)
B -----> +18 19 0 B -----> +17 38
19 19 B <----- -19 19
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#70 04-05-2011 20:40:14
- totomm
- Invité
Re : Les vases communicants ...
bonsoir,
Merci à jpp : La présentation est assez plaisante et facile à suivre pour ce n=19
juste le [tex]10=\frac{n-1}{2}[/tex] pour n=19 me trouble un peu....
Mais quelle serait la démarche générale pour n grand, avec n=3p+4 et p impair bien sûr ?
L'ordinateur donne tellement de solutions pour chaque n que j'en connais au moins jusquà n=31
Cordialement
#71 04-05-2011 20:52:58
- totomm
- Invité
Re : Les vases communicants ...
Bonsoir,
@yoshi : l'analyse rétrograde étant spécifique aux échecs, je ne connaissais pas....et je m'en suis excusé auprès de freddy en temps opportun.
Non, je n'ai pas besoin de celà pour jouer aux échecs, même si c'est le délice des connaisseurs. On ne peut s'adonner à tout ! Merci quand même de l'offre....
Je parierais que plus d'un a décroché des développements de jpp...Mais c'est tout à son honneur
cordialement
#72 04-05-2011 22:01:20
- yoshi
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Re : Les vases communicants ...
Re
@yoshi : l'analyse rétrograde étant spécifique aux échecs, je ne connaissais pas....et je m'en suis excusé auprès de freddy en temps opportun.
Je sais bien.
Il n'entrait pas dans mes intentions de te le reprocher à nouveau, mais alors pas du tout (la dédicace c'était parce que tu avais dit ne pas connaître et en hommage à tes capacités de raisonnement que chacun a pu apprécier).
Je voulais simplement donc te faire découvrir cette analyse qui s'appuie uniquement sur le raisonnement (parfois - souvent - par l'absurde) pur et dur et non la science du jeu.
Et en même temps, je voulais faire découvrir à ceux qui nous lisent, connaisseurs du jeu ou pas, cette branche à part entière et entièrement à part de ce jeu.
Tant pis... Mais je posterai quand même, sans mention particulière ;-)
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#73 04-05-2011 22:06:33
- freddy
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Re : Les vases communicants ...
@jpp,
exact ! En fait je travaillais avec la version [tex]\frac{n(n+1)}{2}=an+r[/tex].
Sinon, on doit être capable de donner la composition de chaque urne pour chaque étape p comprise entre 1 et n.
Ainsi, pour p = 1, on a A=3n-1, B= 1 et C =0
pour p = 2, on a : A=3n-3, B = 1 et C = 2 ;
pour p = 3, on a : A=3n-6, B = 4 et C = 2 ;
...
pour p = n - 2, on a : A = n+1, B = n- 1 et C = n ;
et pour p = n-1, on a : A = 2n, B =0 et C =n (si n est pair par exemple) ;
En fonction de certaines caractéristiques de n, on doit pouvoir dire à chaque étape ce qu'il doit y avoir dans chaque urne. C'est comme cela que la preuve générale sera donnée et c'est ce que j'appelle "la stratégie du jeu".
A plus ...
Dernière modification par freddy (04-05-2011 22:22:37)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#74 05-05-2011 12:46:45
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
Bonjour.
si [tex]n = 8[/tex] au [tex]P^{ieme}[/tex] transfert j'aurais alors:[tex]\frac{p.(p+1)}{2}-2[/tex] dans l'urne [tex]B[/tex] pour [tex]1 < p < n-2[/tex]
parce qu'à [tex]p = 2[/tex] je place [tex]2[/tex] dans l'urne [tex]C[/tex] ce qui donne
[tex]B A C[/tex]
p1 [tex]1 23 0[/tex]
p2 [tex]1 21 2[/tex]
p3 [tex]4 18 2[/tex]
p4 [tex]8 14 2[/tex]
p5 [tex]13 9 2[/tex]
p(n-2) [tex]7 9 8[/tex]
p(n-1] [tex]0 16 8[/tex]
p(n) [tex]8 8 8[/tex]
Dernière modification par jpp (05-05-2011 14:11:24)
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#75 05-05-2011 12:50:42
- jpp
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Re : Les vases communicants ...
re
pour [tex]n = 12[/tex]
[tex]B A C[/tex]
p1 [tex]1 35 0[/tex]
p2 [tex]1 33 2[/tex]
p3 [tex]4 30 2[/tex]
p4 [tex]8 26 2[/tex]
p5 [tex]13 21 2[/tex]
( p6 , p7 , p8 , p9) [tex]bloc(0)[/tex] entre [tex]A et B[/tex] qui conduit à:
p9 [tex]13 21 2[/tex]
p(n-2) [tex]13 11 12[/tex]
p(n-1) [tex]24 0 12[/tex]
p(n) [tex]12 12 12[/tex]
pour [tex]n = 16[/tex] meme style avec un [tex]bloc_{4}(-2)[/tex] supplémentaire (p10 ,p11,p12,p13)
qui passe de [tex]B A C[/tex]
p1 [tex]1 47 0[/tex]
p2 [tex]1 45 2[/tex]
p3 [tex]4 42 2[/tex]
p4 [tex]8 38 2[/tex]
p5 [tex]13 33 2[/tex]
(p6,p7,p8,p9) [tex]13 33 2 (bloc_{4}(0)[/tex]
(p10,p11,p12,p13) [tex]15 31 2 (bloc_{4}(2) A ---> B[/tex]
p(n-2) [tex]15 17 16[/tex]
p(n-1) [tex]0 32 16[/tex]
p(n) [tex]16 16 16[/tex]
Dernière modification par jpp (05-05-2011 15:00:36)
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