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#1 18-04-2010 08:24:39

nabil10
Membre
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extemums liés sous la contrainte!!

bonjour tous le monde!!

Aidé moi a résoudre cette exercice s'il vous plait : déterminer les extremums liés de la fonction:

f(x,y)=[tex]e^{axy}\quad a\neq 0[/tex]

sous la contrainte [tex]\ {x^3}+{y^3}+{x}+{y}-{4}=0[/tex]

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#2 18-04-2010 21:07:07

Fred
Administrateur
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Messages : 7 035

Re : extemums liés sous la contrainte!!

Salut,

  Connais tu le théorème de Lagrange sur les extrema liés?
Si oui, je ne peux que te conseiller de l'appliquer, et de revenir nous voir si ca bloque,
en précisant où et pourquoi tu bloques.

Fred.

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#3 19-04-2010 09:33:28

nabil10
Membre
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Messages : 46

Re : extemums liés sous la contrainte!!

bonjour fred,
En vraie je le connais pas , je vais essayer de l'appliquer mais j'ai encore un problème , trouver y en fonction de x.
j'ai commencer par [tex]x^3+y^3+x+y-4=0[/tex] ce qui implique  [tex]x(x^2+1)+y(y^2+1)=4[/tex], et je pose :[tex]Y=y^2+1[/tex] et [tex]X=x^2+1[/tex] ce qui nous donne l'equation [tex]Y\sqrt{Y-1}+X\sqrt{X-1}=4[/tex] dit moi si je suis dans la bonne voix, s'il vous plait

Dernière modification par nabil10 (19-04-2010 09:58:03)

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#4 19-04-2010 09:58:10

freddy
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Re : extemums liés sous la contrainte!!

Salut,

non, tu ne connais pas la technique du lagrangien pour résoudre ton problème.

Elle consiste à former la fonction  [tex]L \left(x,y,\lambda \right)=f\left(x,y\right)-\lambda \left({x}^{3}+{y}^{3}+x+y-4\right)[/tex] ce qui permet de se ramener à calculer les extrema d'une fonction à trois variables sans contrainte.

Les conditions nécessaires du premiers ordre sont que les 3 dérivées partielles par rapport aux trois variables soient nulles => permet de trouver une solution. Il faut pousser un peu plus loin pour vérifier que ce sont bien les solutions cherchées (condition suffisante sur le Hessien (la matrice des dérivées secondes) du Lagrangien, si ma mémoire et bonne).

Je pense qu'il faut que tu revois ton cours.

Freddy


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 19-04-2010 10:54:53

nabil10
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Re : extemums liés sous la contrainte!!

bonjour!

si je pose [tex]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda(x^3+y^3+y+x-4)[/tex] alors je calcul les dérivées partiel premières ce qui me donne :


   [tex]\frac{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial x}=aye^{axy}+3\lambda x^2+\lambda[/tex]

   [tex]\frac{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial y}=axe^{axy}+3\lambda y^2+\lambda[/tex]
 
   [tex]\frac{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial \lambda}=\lambda(x^3+y^3+x+y-4)[/tex]

la liste des candidats est donc l'ensemble des solutions de:

[tex]\frac{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial x}=0[/tex]
[tex]\frac{\partial l(x,y,\lambda)}{\partial y}=0[/tex]
[tex]\frac{\partial l(x,y,\lambda)}{\partial\lambda}=0[/tex]

bloqué là le système est délicat...

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#6 19-04-2010 13:48:44

freddy
Membre chevronné
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Re : extemums liés sous la contrainte!!

nabil10 a écrit :

bonjour!

si je pose [tex]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda(x^3+y^3+y+x-4)[/tex] alors je calcul les dérivées partiel premières ce qui me donne :


   [tex]\frac{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial x}=aye^{axy}+3\lambda x^2+\lambda[/tex]

   [tex]\frac{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial y}=axe^{axy}+3\lambda y^2+\lambda[/tex]
 
   [tex]\frac{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial \lambda}=(x^3+y^3+x+y-4)[/tex]

la liste des candidats est donc l'ensemble des solutions de:

[tex]\frac{\partial L(x,y,\lambda)}{\partial x}=0[/tex]
[tex]\frac{\partial l(x,y,\lambda)}{\partial y}=0[/tex]
[tex]\frac{\partial l(x,y,\lambda)}{\partial\lambda}=0[/tex]

bloqué là le système est délicat...

J'ai modifié ta dernière dérivée partielle ! Donc 3 équations, toirs inconnues, la théorie dit que c'est jouable ...


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#7 19-04-2010 21:19:07

Fred
Administrateur
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Messages : 7 035

Re : extemums liés sous la contrainte!!

Salut,

  C'est possible de résoudre, mais il faut ruser. Le terme réellement embêtant, c'est [tex]e^{axy}[/tex].
Tu écris donc
[tex]aye^{axy}=-3\lambda x^2-\lambda[/tex]
et
[tex]axe^{axy}=-3\lambda y^2-\lambda.[/tex]

Tu divises ces deux équations, et tu trouves :
[tex]\frac yx=\frac{-3x^2-1}{-3y^2-1}[/tex]

Sauf erreur de calcul de ma part, ca peut se ramener à
[tex]x^3-y^3+x-y=0[/tex]
En comparant avec la dernière équation, on peut trouver une équation en x de la forme
[tex]2x^3+2x-4=0[/tex]
Comme 1 est racine évidente, on peut résoudre cette équation....

Fred.

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#8 20-04-2010 13:36:38

nabil10
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Re : extemums liés sous la contrainte!!

bonjour fred!

il est clair que 1 est solution de l'équation [tex]2x^3+2x-4=0[/tex] mon équation devient alors [tex]2(x-1)(x^2+x+2)=0[/tex] et l'équation [tex]x^2+x+2=0[/tex] n'admet pas de solution dans R donc 1 est solution unique: en remplaçant x=1 dans la dernière équation, on obtient [tex]y^3+y-2=0[/tex]  1 est racine évident  donc on aura après factorisation [tex](y-1)(y^2+y+2)=0[/tex] donc le coupe [tex](1,1)[/tex] est le seul [tex]\in[/tex] a la liste des candidats. Donc si f admet un extremum sous la contrainte [tex]x^3+y^3+x+y-4=0[/tex] cet extremum est atteint en (1,1) et vaut [tex]f(1,1)=e^a[/tex].

Mais freddy m'as parlé de la matrice hessien, est ce que jusqu'à là je peux pas conclure????

Autre chose est il pas possible de passer par la méthode de substitution?



merci

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#9 20-04-2010 19:06:49

nabil10
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Re : extemums liés sous la contrainte!!

bonsoir fred!

j'ai finalement calculer les derivées secondaire pour pouvoir former la matrice hessienne mais le probleme est que je trouve le deteminant nul... et là j'arrive plus a conclure si c'est un point selle ou un extremum,
que dois je faire??

merci pour votre aide

Dernière modification par nabil10 (20-04-2010 19:07:30)

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#10 20-04-2010 21:36:23

Fred
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Re : extemums liés sous la contrainte!!

Salut,

  On peut s'en sortir par un argument de compacité indépendant....
Si (x,y) est un point de x^3+y^3+...
avec |x| et |y| assez grands, alors x et y sont nécessairement de signe opposés, et donc
[tex]f(x,y)\leq e^0=1[/tex]
Sur l'intersection de la courbe et du compact [-M,M]x[-M,M], f admet un maximum qui est au moins égal à [tex]e^a[/tex]. Ce maximum est donc forcément le maximum global de la fonction sous la contrainte donnée.
Et donc (1,1) est le point où f(x,y) est maximum quand x^3+y^3+....

Fred.

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#11 21-04-2010 06:50:38

nabil10
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Re : extemums liés sous la contrainte!!

salut,

j'ai compris ton raisonnement fred et merci pour tous , mais pourra tu me donner un lien, ou une conclusion d'une maniéré générale dans le cas ou le déterminant est nul...

merci

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#12 28-11-2019 01:11:22

Warrene
Invité

Re : extemums liés sous la contrainte!!

Bonjour Fred . J ai du mal avec l optimisation extremum sous contrainte avec 3 variables . Du genre : soit f (x,y,z) =2xyz" (" z est au carré)
S/c 2x+3y+ z+=2400

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