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mario

Invité

quadrique

j'ai un petit soucis pour faire cette question ! merci d'avance

Reduire la quadrique :
5x ² + y² + z²- 2xy + 2xz - 6yz + 4y + 4z + 1 = 0
preciser les coordonnees de son centre - , les vecteurs directeurs des axes (I; J; K) et l'equation réeduite.
Faire une figure dans le repere (I; J; K) en determinant en particulier l'intersection avec les plans de coordonnees.

J2L2

Invité

Re : quadrique

5x ² + y² + z²- 2xy + 2xz - 6yz + 4y + 4z + 1 = q(X) +  4y + 4z + 1

On peut par exemple commencer par étudier la forme quadratique :

q(X) = 5x ² + y² + z²- 2xy + 2xz - 6yz   qui a pour matrice :

         5     -1       1

         -1     1      -3

          1     -3      1

Etudier alors la nouvelle base de vecteurs propres et le rang de cette matrice ...

mario

Invité

Re : quadrique

merci pour votre réponse mais je ne vois pas l'acheminement exact du résultat.
POurriez vous etre un peu plus précis
merci d'avance

J2L2

Invité

Re : quadrique

Il faut chercher les valeurs propres de cette matrice et en déduire les vecteures propres qui engendrent l'espace. Ces 3 vecteurs propres constituent une nouvelle base dans laquelle l'équation de la quadrique sera plus simple !

Par ailleurs, les coordonnées du centre (a,b,c) sont obtenues en annulant les dérivées partielles de F(X,Y,Z)  --> syst de 3 équations à 3 inconnues (F=0 étant l'équation de la quadrique dans le repère considéré).

mario

Invité

Re : quadrique

je n'arrive pas à trouver les valeurs propres de la matrice! j'ai tout essayé : faire apparaitre 2 zéro puis développer ca ne marche pas car il me reste des constantes et puis dernier recours par la méthode de Sarrus : impossible!
pourriez vous m'indiquer les combinaisons à faire entre les lignes et colonnes pour trouver les valeurs propres merci d'avance

J2L2

Invité

Re : quadrique

Les valeurs propres d'une matrice M sont les solutions de l'équation :

                                               Déterminant ( M - xI) = 0

où I désigne la matrice unité diagonale --> équation du 3° degré !

Lorsqu'on a une valeur propre x, on cherche l'espace propre correspondant, c'est à dire les vecteurs u tels que M.u = x.u ---> système de 3 équations à 3 inconnues.

Bon courage !