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#1 30-05-2009 11:27:37

kenimat
Membre
Inscription : 30-05-2009
Messages : 11

calcul differentiel [Résolu]

bonjour à toutes bonjour à tous!

j'ai un soucie avec un exo et j'aimerai bien que quelqu'un paut m'aider. et merci beaucoup.
l'exo dit:

soit U un ouvert de R², et f U --> R une application continue (x,y)-->f(x,y), admettant une dérivée partielle par
rapport a y continue en tout point de U.soit (x°,y°) un point de U tel que f(x°,y°)=0,on suppose que la dérivée
partielle de f par rapport à y en (x°,y°) est non nulle.
on a montrer dans la premiere question l'existance d'une boulede centre (x°,y°) et de rayon r telque la dérivée partielle par rapport à y et non nulle quelque soit (x,y) dans cette boule.
maintenant on cherche à montrer à l'aide de ce qui precède et le théorème des accroissements finis que les fonctions F:I-->R  et G:J-->R coincident sur un intervalle K de centre x°
avec F etG deux fonctions continues verifiant les relations suivantes

F(x°)=y°

(x,F((x)) appartient à U qulque soit x dans I

f(x,(F(x))=0 quelque soit x dans I

bien cordialement;

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#2 30-05-2009 13:41:10

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 550

Re : calcul differentiel [Résolu]

Bonjour,

J'aurais (on aurait ?) bien aimé savoir ce que tu avais essayé de faire avant de te donner une réponse toute faite...
Une indication avant que tu me dises ce que tu as essayé :
[tex]f(x,F)-f(x,G) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,c) (F-G)...[/tex]
Roro.

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#3 30-05-2009 13:50:44

kenimat
Membre
Inscription : 30-05-2009
Messages : 11

Re : calcul differentiel [Résolu]

merci beaucoup Roro

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#4 30-05-2009 13:56:44

kenimat
Membre
Inscription : 30-05-2009
Messages : 11

Re : calcul differentiel [Résolu]

bonjour Roro
je veux juste savoir sur quoi va nous servir les relations cités dans le 1er message?
merci

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#5 30-05-2009 14:37:44

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 550

Re : calcul differentiel [Résolu]

Re,

L'idée est de prendre ensuite F=F(x) et G=G(x), mais pour le faire il faut que f(x,F(x)) et f(x,G(x)) aient un sens, donc que (x,F(x)) et (x,G(x)) soient dans U.

Ensuite, en disant que f(x,F(x)) et f(x,G(x)) sont nulles et en utilisant que [tex]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex] est non nul sur U, tu en déduis que F(x)=G(x)...

J'ai aussi utilisé la condition [tex]F(x^0)=y^0=G(x^0)[/tex] de façon implicite : pour cela il faut que tu comprennes ce qu'est le nombre c qui était dans mon premier message.
Il "vit" entre F(x) et G(x), donc si tu es certain que [tex]F(x^0)=y^0=G(x^0)[/tex] (et que F et G sont continues) alors tu seras certain que c reste au voisinage de [tex]y^0[/tex]...

Bon courage,
Roro.

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#6 30-05-2009 19:58:00

kenimat
Membre
Inscription : 30-05-2009
Messages : 11

Re : calcul differentiel [Résolu]

merci Roro

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