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#1 23-05-2009 14:37:48

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

théorie des nombres et language formel [Résolu]

Bonjour,

Je suis en train de lire un livre scientifique et il m'a proposé un problème, ma foi assez ardu.
Je suis dessus depuis une semaine, sans résultat, meme pas une lueur
Et je n'ai pas trouvé la solution dans le livre:

Traduire en langage formel la propriété : "b est une puissance de 2"
(puis de 10) (et pourquoi pas de n...)

J'entend par langage formel de n'utiliser que les mots:
"quelque soit" , "il existe" , "non" , "implique"
ainsi que les opérations:
"+" , "." , "="
et tout les entiers naturels et variables nécéssaires

J'espère que je me suis bien expliqué

J'ai essayé de passer par les modulo (la divisibilité n'est pas très difficile à exprimer)

puis de monter un système de récurence :
si 2.2<b
  si 2.2.2<b
    si 2.2.2.2<b
...
biensur le ">b" est à exprimer avec les signes autorisés

l'idée que je suis en train de tester actuellement est:
la puissance étant un produit de produit
et le produit une somme de somme
si j'arrive à exprimer "." en fonction du "+"
la puissance ne doit pas etre trop différente...
j'essaie...

mais tout ça m'amène beaucoup trop loin, il doit y avoir une astuce, mais dans ce cas je ne l'ai pas vu

Dernière modification par tibo (23-05-2009 14:43:32)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#2 26-05-2009 16:35:14

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : théorie des nombres et language formel [Résolu]

Pas beaucoup de réponses...

Enfin moi j'abandonne...

Si quelqu'un a une idée...


A quoi sert une hyperbole?
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#3 27-05-2009 19:39:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : théorie des nombres et language formel [Résolu]

Bonjour,

Pas vu ton truc...
Non, je ne comprends pas ce que tu veux...
b est une puissance de 2 :
si b est une puissance de 2 alors il existe un entier n tel que b est égal au produit de n fois le nombre 2...

Même si ce n'est pas cela (probable, car c'est trop simple), ça te permettra de préciser ta pensée...

@+
EDIT : la puissance est un produit de produits...
Ce n'est vrai qu'à partir de  l'exposant 4 : 2^ = (2 * 2) * 2, mais 2^4 = (2 * 2)*(2 * 2), sauf si tu considères que 2, c'est 2 * 1...


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#4 28-05-2009 13:33:58

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : théorie des nombres et language formel [Résolu]

Bonjour,

je vais donner des exemples pour me faire comprendre:

"6 est un nombre pair" s'écrirai
[tex]\exists a, 6=2.a[/tex]

"2 n'est pas un carré"
[tex]non( \exists a, a.a=2)[/tex]
on pourrai utiliser le signe [tex]\neq[/tex] pour simplifier les notations mais dans mon livre ils veulent pas

"1729 est la somme de deux cubes"
[tex]\exists a, \exists b, 1729=a.a.a+b.b.b[/tex]

"Aucune somme de deux cubes strictement positifs n'est elle-même un cube"
[tex]non( \exists a, \exists b, \exists c, a.a.a=(b+1).(b+1).(b+1)+(c+1).(c+1).(c+1))[/tex]

"5 est un nombre premier "
[tex]non( \exists a, \exists b, 5=(a+2).(b+2)[/tex]

"Il existe une infinité de nombres premiers"
[tex]\forall c, \exists d, non( \exists a, \exists b, c+d+1=(a+2).(b+2) )[/tex]

comme tu peux le remarquer je n'utilise pas la notation exposant
a^3 s'écrit a.a.a

et je ne peux pas écrire
2^n= 2.2. ... .2 n fois

je sais qu'en disant
"la puissance étant un produit de produit
et le produit une somme de somme"
ce n'est pas très rigoureux, mais c'était plus pour l'idée


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#5 28-05-2009 20:31:20

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : théorie des nombres et language formel [Résolu]

Yop,
A vue de nez d'informaticien, je dirais qu'on ne peut pas l'exprimer au premier ordre (i.e. en ne quantifiant que sur des entiers, et pas sur des prédicats). Je n'ai pas trop le temps d'y réfléchir, mais dès que j'ai le temps je réponds.
++


Barbichu

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