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#1 17-01-2009 10:00:55

sinuspax
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Le calcul de Flavius

A l'époque où la bataille de la numération faisait encore rage, il y avait un vieux fou nommé Flavius.
Flavius avait la réputation d'être un "réactionnaire", car il ne jurait que par la numération romaine. Il soutenait mordicus à qui voulait bien l'écouter qu'il était capable d'additionner, de soustraire et de multiplier sans le secours d'aucun abaque.
Agacé devant tant d'arrogance, un riche marchand vénitien (adepte de la nouvelle numération, dite "de position") voulut rendre visite au vieux fou pour se moquer de lui.
Ce fut par un beau matin de l'année 14..
Le riche marchand vénitien se présenta au domicile de Flavius, et lui lança dérechef le défi suivant, tout en le toisant d'un air goguenard :
" Fais-moi ILLICO cette double soustraction, et sans abaque, s'il te plait" (il s'agissait du calcul : 1595 - 742 - 324).
Flavius ne se démonta pas. Il écrivit lentement sur son parchemin :

MDVC - DCCXLII - CCCXXIV

M
D - D
C - CC - CCC = - CCCC
- L
(+) X - XX = - X
- V - II - IV = - XI

M - CCCC - L - X - XI = DXXIX (529)

La belle main du marchand vénitien finit par se crisper sur le parchemin du vieux fou. Il se gratta la tête.

SPX

Dernière modification par sinuspax (19-01-2009 12:34:18)

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#2 17-01-2009 18:02:57

yoshi
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Re : Le calcul de Flavius

Bonjour,

Joli, mais totalement apocryphe...

V - V - V = -V était une opération totalement inconcevable à l'époque.
Les nombres négatifs ne sont apparus qu'à l'époque du roi Dagobert.
De plus les petites décompositions des différents nombres
1. traitent sans le dire la numération à principe additif et soustractif comme une numération de position
2. font appel à des règles apparues encore après : -38= -(30+5+3)=-30-5-3

adepte de la nouvelle numération, dite de "position"

Cette nouvelle numération n'a de sens qu'après mise en place des chiffres dits "arabes". Or, ils n'ont été introduits en France qu'à la fin du Xe siècle après J.C par Gerbert d'Aurillac, celui-là même qui devint pape.
Ils figuraient sur des jetons en corne (placés dans un tableau) et sur lesquels une absence était remarquable, celle du zéro, introduit, lui, plus tard...

Qui a dit : << Rabat-joie ! >> ?

@+


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#3 18-01-2009 12:04:38

sinuspax
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Re : Le calcul de Flavius

Salut Yoshi !

On est bien d'accord. C'est de la science-fiction !  On peut imaginer que Flavius (un original) avait inventé pour lui-même les nombres négatifs.
Je voulais montrer à travers ce conte (ce compte) que la numération non positionnelle est loin de mériter l'indifférence dont elle est l'objet.

Sinus

PS : j'ai pris des nombres plus grands, tant qu'à faire (l'algorithme est aussi simple). J'attire ton attention sur le fait que l'histoire se situe au 15ème siècle, époque où la numération de position commençait à percer.

Dernière modification par sinuspax (18-01-2009 12:22:42)

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#4 18-01-2009 13:24:31

yoshi
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Messages : 16 947

Re : Le calcul de Flavius

Re,


Ok !
Cela dit tu as écrit année 14 et pas XVe siècle...
A moins que par année 14... tu entendais 14xx, dans ce cas il y a un point de trop. 3 points = points de suspension.

@+

PS
Il me semble bien qu'au XVe siècle, la numération romaine n'était plus employée, mais que nos chiffres et la numération de position étaient bien installés.
Cela dit, ton petit conte cesse d'être un "conte à dormir debout) à partir du moment où tu me développeras une méthode rapide et concurrentielle pour effectuer multiplications et divisions avec les chiffres romains.
Bon courage...

Dernière modification par yoshi (18-01-2009 13:58:00)


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#5 19-01-2009 13:02:49

sinuspax
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Re : Le calcul de Flavius

Re,

J'ai corrigé le 14.. Pour ce qui est de l'époque, vérif sur Wikipédia ("numération positionnelle") : ce n'est qu'à la Renaissance véritablement que le système positionnel s'est imposé. Mon histoire est  imaginaire mais plausible.
Une multiplication en chiffres romains ?

682 x 253

DCLXXXII . CCLIII

DC (LXXX (II
CC (L (III

DC . CC = RPP
DC . L = PPP
DC . III = MDCCC
LXXX . CC = PNM
LXXX . L = MN
LXXX . III = CCXL
II . CC = CD
II . L = C
II . III = VI

RPP PPP MDCC PN(M) (M)N CCXL (C)D (C) VI

RPPPPPPNNMDDCCCCCXLVI

RQPPMMDXLVI (172546)

Les lettres entre parenthèses s'annulent.
J'ai dû ajouter des lettres : N (5000), P (10000), Q (50000), R (100000). On utilise des tables de multiplication jusqu'à IX (comme en position) et une table de conversion des résultats . X (ex : XV . X = CL . X = MD . X = PN ...).
Maintenant, pour la division, c'est un peu plus difficile (comme en position) mais c'est très faisable.

1529 / 38

MDIXXX / XXXVIII

On essaye XL (voir algo multiplication). Il reste IX. On convertit IX en XC. Il y va deux fois. Reste XIV. On convertit XIV en CXL. Il y va trois fois. Etc ...
Résultat : XL,XXIII.

2703 / 97

MMDCCIII / IIIC

On essaye XX. Il reste MCMXL. On retranche MCMXL de MMDCCIII (voir algo soustraction). Il reste DCCLXIII. Il y va sept fois. Il reste DCLIXXX. On retranche DCLIXXX de DCCLXIII. Il reste LXXXIV. On convertit en DCCCXL. Il y va huit fois.
Etc ...
Résultat : XXVII,VIII.

NB : il est très facile d'additionner IIIC avec lui-même. VIII . IIIC = VIII . C - VIII . -III = DCCC - XXIV =  DCCLXXVI.

Encore une fois, le but du jeu n'est pas de concurrencer le système positionnel, mais de lever le préjugé selon lequel on ne peut pas calculer avec des chiffres romains.
Par ailleurs, il y a un mode de calcul inhérent à ce système (associatif) et c'est cela qui est intéressant (selon moi).

Dernière modification par sinuspax (19-01-2009 16:09:27)

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#6 19-01-2009 19:49:47

tibo
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Re : Le calcul de Flavius

Bonjour,

Je trouve que les methodes de calcul sont exactement les meme.
Certe les notation changene , mais tu traites les unité, puis les dizaines, puis les centaine,... et tu additionnes tout après.
C'est peut-être plus difficile a manipuler, surement parce que l'on a pas l'habitude, mais la technique est très similaire (enfin je trouve)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#7 20-01-2009 12:43:04

sinuspax
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Messages : 47

Re : Le calcul de Flavius

Bonjour,

Ah bon, parce que toi, tu fais les additions et les soustractions comme ça ? Et tu calculais avec des chiffres romains ?  Depuis quand ?
Il faudrait peut-être faire un petit effort de compréhension. En l'occurence, on a un principe identique (justifié par la base 10) et une technique différente (justifiée par la
position horizontale).

1) On peut calculer avec des chiffres romains.

2) Je vais montrer, en l'appliquant aux chiffres arabes, que cette technique est plus rapide que la technique de position classique. Je fais figurer le calcul intermédiaire pour la compréhension.

429 + 217 + 69

400 + 200 + 20 + 10 + 60 + 9 + 7 + 9 = 600 + 90 + 25 = 715 (pas de retenues)

429 - 217 - 69

400 - 200 - (20 - 10 - 60) - (9 - 7 - 9) = 200 - 50 - 7 = 143 (pas de retenues).

429 x 63

400 x (60 + 3) + 20 x (60 + 3) + 9 x (60 + 3)

24000
01200
01200
00060
00540
00027

20000 + 6000 + 900 + 120 + 7 = 27027

Tu peux toujours continuer à faire des additions et soustractions avec retenues si ça te chante.

Sinus

Dernière modification par sinuspax (21-01-2009 09:08:12)

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#8 20-01-2009 15:15:56

yoshi
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Messages : 16 947

Re : Le calcul de Flavius

Bonjour ô Grand Maître,

La paix soit avec tes sinus !

Je n'ai pas le temps ni le courage de faire une réponse sur le fond pour l'instant.
Je me permets toutefois de te rappeler à un peu plus de cordialité avec tes interlocuteurs : en l'occurence tibo n'était pas même un contradicteur. Il abondait de plus dans ton sens en disant que oui on pouvait calculer et que les méthodes étaient similaires, après quoi ...tagada... tu montes sur tes grands chevaux (plusieurs à la fois ? ;-) ) et tu charges...
Sûrement, tes écrits ont dépassé ta pensée...
Une petite question toutefois avant une contribution qui je le pense t'intéressera.
Si, il s'agit bien de systèmes concurrentiels à partir du moment où l'un a supplanté l'autre et à te lire, on se demande bien pourquoi notre système actuel a supplanté tout autre, de façon universelle ? Un complot ?
Méthode de multiplication, dite "multiplication arabe" sans retenue en cours de multiplication (juste les tables à savoir) mais retenues dans les additions finales. Il me semble d'ailleurs en avoir déjà parlé. Mais chercher me demanderait un trop gros effort pour l'instant (je relève d'opération)...
682 x 253
Remplissage des cases de multiplication dans n'importe quel ordre.
Sommation en diagonale de haut-droite à bas-gauche, toute retenue (ici en vert)est reportée dans la diagonale suivante.
La lecture du résultat se fait dans le sens indiqué.
Seul inconvénient de la méthode : elle demande d'avoir du papier quadrillé ou des grilles de taille variable pour rivaliser en vitesse avec notre technique classique
mulatrabmw2.png

@+


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#9 20-01-2009 20:09:32

tibo
Membre expert
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Messages : 1 097

Re : Le calcul de Flavius

Bonjour,

Je ne cherchais ni à conredire ni à confirmer l'utilisation d'un chiffrement ou un d'un autre. Je remarquais juste qu'il y a beaucoup de similitudes dans les méthodes de calcul, surement du à la base 10 en effet.

Et je ne comprend pas très bien ta multiplication Yoshi...


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#10 20-01-2009 20:51:01

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : Le calcul de Flavius

salut tibo,

On prépare une grille suffisamment grande.

De bas en haut et de gauche à droite, on écrit  la multiplication :
253 x 682
On trace les diagonales des cases.
Puis on lance les calculs :
3 x 6 = 18 ; 3 x 8 = 24 ; 3 x 2 = 06
5 x 6 = 30 ; 5 x 8 = 40 ; 5 x 2 = 10
2 x 6 = 12 ; 2 x 8 = 16 ;  2 x 2 = 04
ET on remplit les cases en séparant les 2 chiffres du nombre obtenu : un dans chaque triangle. Le chiffre le plus à gauche se place dans le triangle pointe en bas...
Ca va très vite...
Puis, on fait les additions en diagonale.
Bien sûr la justification est facile à apporter :
253 x 682 = (3 + 50 + 200)(600 + 80 + 2)
               = 3 x 600 + 3 x 80 + 3 x 2 + 50 x 600 + 50 x 80 + 50 x 2 + 200 x 600 + 200 x 80 + 200 x 2
               = 1800 + 240 + 06 + 30000 + 4000 + 100 + 120000 + 16000 + 400

Et si tu vires les zéros à droite  que tu remplaces par le décalage ad hoc (là j'ai remplacé lesdits zéros par des points, les diagonales mises en colonne donnent :

   18..
    24.
     06
  3....
   4...
    1..
 12....
  16...
    4..

ce qui est nettement moins lisible qu'avec la grille proposée : les diagonales matérialisées permettent de ne pas se paumer...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#11 20-01-2009 21:11:04

tibo
Membre expert
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Re : Le calcul de Flavius

D'accord, merci
quelle est la méthode la plus rapide...? A voir...


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#12 21-01-2009 01:50:52

Barbichu
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Re : Le calcul de Flavius

Salut,
je n'ai vraiment pas le temps de m'attarder, mais voila de quoi alimenter votre débat :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme … iplication
Paragraphe : "Multiplication rapide"
enjoy

++


Barbichu

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#13 21-01-2009 08:58:34

sinuspax
Membre
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Re : Le calcul de Flavius

Bonjour à tous,

Mille excuses à Tibo d'avoir mal interprété sa réponse. Et merci à toi, Yoshi, pour tes éclairages.
La méthode arabe est géniale mais demande un travail de positionnement qui s'avère vite difficile à gérer. Cependant il faudrait l'étudier.
La méthode suivante associe addition horizontale (voir ci-dessus) et addition verticale (avec retenue). Tout faisable à la main.
On a trois étapes :

1) Calcul des multiples ordonnés en carré
2) Calcul des sommes diagonales du carré
3) Décalage et résultat

Ex :

26 x 34

6 18
8 24

8 + 18 = 26

06
026
0024

884


682 x 253

12 16 04
30 40 10
18 24 06

30 + 16 = 46
18 + 40 + 04 = 62
24 + 10 = 34

(Ce calcul se fait mentalement : 18 + 40 + 04 = 10 + 40 + 8 + 4).

12
046
0062
00034
000006

172546


6232 x 7453

42 14 21 14
24 08 12 08
30 10 15 10
18 06 09 06

(J'abstrais la phase intermédiaire)

42
038
0059
00054
000029
0000019
00000006

46447096


Encore une petite dernière ...

12378456 x 25874215

02 04 06 14 16 08 10 12
05 10 15 35 40 20 25 30
08 16 24 56 64 32 40 48
07 14 21 49 56 28 35 42
04 08 12 28 32 16 20 24
02 04 06 14 16 08 10 12
01 02 03 07 08 04 05 06
05 10 15 35 40 20 25 30

02
  09
    24
      52
        93
         135
           160
              166
                157
                  137
                    113
                        78
                          37
                            31
                              30

320282831912040


Sinus

Dernière modification par sinuspax (22-01-2009 23:37:16)

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