racine carrée [Résolu]

Golgup · 25-08-2008 17:38:52

REEE!!

Bon, est ce qu'il est possible, dans cette équation, de trouver x sans utiliser la racine carrée?

[tex]\frac{x}{2}{(x+1)}=351[/tex]

Si la réponse est non, comment trouve t-on la racine carrée d'un nombre? sous entendu, si il ya une methode sûr et finie, (formule..), quelle est cette methode??

Merci

@++

Dernière modification par Golgup (25-08-2008 17:43:43)

yoshi · 25-08-2008 21:29:00

Bonsoir,

Sauf hasard miraculeux, ou volonté du fabricant de l'exercice, la réponse est non...
Je ne vais pas te donner une formule du cours de 1ere, mais plutôt une technique que tu devrais voir cette année en 2nde.
On part de [tex]a^2+2ab+b^2\,=\,(a+b)^2[/tex]
Puis on écrit :
[tex]a^2+2ab\,=\,(a+b)^2-b^2[/tex]
Maintenant on prend ton équation, on développe, on réduit et on passe tout du même côté :
[tex]x^2+x-702\,=\,0[/tex]
Et on dit que x²+x c'est a²+2ab, on a donc
[tex]x^2+x\,=\,(x+{1 \over 2})^2\,-\,{1 \over 4}[/tex]
Donc :
[tex](x+{1 \over 2})^2\,-\,{1 \over 4}-702\,=\,0[/tex]
Soit :
[tex](x+{1 \over 2})^2\,-\,{1 \over 4}-{2808 \over 4}\,=\,0[/tex]
On réunit les deux fractions en une seule :
[tex](x+{1 \over 2})^2\,-{2809 \over 4}\,=\,0[/tex]
Coup de chance : 2809 = 53² ou encore [tex]53\,=\,\sqrt{2809}[/tex] (il y a bien une racine carrée...).
On a donc :
[tex](x+{1 \over 2})^2\,-({53 \over 2})^2\,=\,0[/tex]
Que l'on factorise :
[tex](x+{1 \over 2}+{53 \over 2})(x+{1 \over 2}-{53 \over 2})\,=\,0[/tex]
On a après réduction :
[tex](x+27)(x-26)\,=\,0[/tex]
A partir de là, tu dois être capable de trouver les 2 solutions de l'équation que tu nous as soumise.

@+

PS Veux-tu savoir comment, à la main, on calcule, par exemple, la racine carrée de 55225 ou bien ce que j'ai fait ci-dessus répond-t-il à ta question ?

Golgup · 25-08-2008 23:28:49

Bonsoir,

J'aurai du préciser, le coup de chance n'en n'est pas vraiment un.. car l'équation est en fait un bout d'une formule censsée trouver des racines, et ici, il fallait justement trouver [tex]\sqrt{2809}[/tex]. Mais merci, je ne savais même pas qu'il y avait deux solutions..

Oui, je voulais aussi savoir comment trouver des racines á la main.

Merci

++

yoshi · 26-08-2008 07:40:07

Bonjour,

Il n'y a plus grand monde qui doit savoir aujourd'hui...
Que ceux qui savent lèvent le doigt !
Cherchons la racine de 55225.
On pose :

5 52 25 |
|-----

comme une division, mais sans diviseur : on sépare par tranches de 2 chiffres en partant des unités et on commence tout à gauche.
Question : quel est le plus grand carré parfait contenu dans 2 ? C'est 4 dont la racine est 2.

5 52 25 |2
1 |-----
| 2 x 2 = 4
|----------------
|

On abaisse les deux chiffres suivants et on double la racine provisoire que l'on pose à droite chez les "quotients"...
On met un point à côté (pour un chiffre à trouver) x par ce même chiffre représenté par un point.
On cherche en fait le chiffre ? tel que 4? x ? <= 152
5 52 25 |2
1 52 |-----
|2 x 2 = 4
|----------------
|4. x . =

C'est 3. En effet 44 x 4 = 176 trop grand, alors que 43 x 3 = 129.
On complète et on met met donc 3 chez les racines.
5 52 25 |23
1 52 |-----
23 | 2 x 2 = 4
|----------------
|43 x 3 = 129

On abaisse les deux chiffres suivants (ou on met une virgule et abaisse deux zéros), on double la racine et on recommence :
5 52 25 |23
1 52 |-----
23 25 | 2 x 2 = 4
|----------------
| 43 x 3 = 129
|-----------------
| 46. x . =

Là encore on veut ? tel que 46? x ? <= 2325. Ici, c'est 5... :

5 52 25 |235
1 52 |-----
23 25 |2 x 2 = 4
0 00 |----------------
| 43 x 3 = 129
|-----------------
| 465 x 5 = 2325

Donc [tex]\sqrt{55225}\,=\,235[/tex]
Mais les nombres deviennent vite très très longs et les calculs très fastidieux et "impossibles".

Il y a bien longtemps un gars qui s'intéressait au "nombre d'or" m'avait contacté, il voulait avoir [tex]\sqrt 5[/tex] avec un "maximum" de décimales... Combien ? 15 ? 16 ? Non, qu'il dit, une centaine si possible ! Arf !

Alors j'ai commencé à la main... Commencé seulement !
J'ai alors programmé cette technique en réécrivant la multiplication et la soustraction pour des nombres allant jusqu'à plus de 100 chiffres.
En "Basic", mon Amstrad CPC 6128, avait mis un peu plus d'une heure pour calculer racine de 5 avec 100 décimales.
Aujourd'hui, je pense qu'il faudrait une petite poignée de minutes...

@+

Golgup · 26-08-2008 14:35:39

Salut,

J'ai compris le reste merci, sauf, cette phrase:

quel est le plus grand carré parfait contenu dans 2 ? C'est 4 dont la racine est 2.

Pourquoi 2, sa vient des tranches?...je comprends pas bien le sens de cette phrase..

++

yoshi · 26-08-2008 15:47:46

Salut,

Désolé ! Faute de frappe...C'était 5 et pas 2...
La première fois, après avoir regroupé par tranches de 2 chiffres, pour démarrer, on se pose la question :
Quel est le plus grand carré parfait contenu dans xx (ici précédemment, 5)...
C'est clair maintenant ?...

Un autre exemple, pour me faire pardonner. Extraction de la valeur approchée de [tex]\sqrt{987,28}\;\mathrm{\grave a}\;10^{-6}[/tex] près par défaut

@+

Golgup · 26-08-2008 16:00:51

ok!, merci yoshi tout est clair maintenant

lu

yoshi · 26-08-2008 20:37:07

Bonsoir,

Alors, c'est bien.
Je peux te dire que si tu tombes sur un prof de maths de moins de 35 ans (pour donner un âge plausible), tu peux parier à 100 contre 1 qu'il ignore cette technique : elle a disparu des programmes il y a plus de 30 ans.
Avant, il y a bien longtemps, c'était du programme de 4e : c'est là que je l'ai apprise...

Tu as donc là maintenant de quoi surprendre un peu plus.

@+

tibo · 03-09-2008 19:53:22

bonsoir,

j'ai voulu essayer de calculer racine de 2, mais je bloque tout de suite:

2,00 |1,.
|_______
1 00 |1x1=1
|2. x . = ?

N'ai-je rien compris à ta méthode?
Je pensais pourtant avoir compris...

yoshi · 03-09-2008 22:13:47

Bonsoir tibo,

2,00 00 00 |1,414
1 00 |----------------
04 00 | 1 x 1 = 1
1 19 00 | 24 x 4 = 96 (1)
06 04 | 281 x 1 = 281 (2)
| 2824 x 4 = 11296 (3)

(1) 2_ x _ : le _ ne peut pas être 5, car 25 x 125 > 100, ni 3 puisque 23 x 3 = 69 et que 24 x 4 = 96 > 69
(2) La racine provisoire sans la virgule est 14, on double --> 28 et on cherche le _ tel que 28_ x _ <= 400. On voit bien que 242 x 2 = 484 > 400. Il faut donc se rabattre sur 1
(2) La racine provisoire sans la virgule est 141, on double --> 282 et on cherche le _ tel que 282_ x _ <= 11900. On voit bien que 2825 x 5 = 14125 > 11900. Il faut donc se rabattre sur 4 : 2824 x 4 =11296 et 11900 - 11296 = 604.

Est-ce que c'est plus clair ?

@+

tibo · 03-09-2008 22:17:03

d'accord
c'était bien ça, je n'avais rien compris
merci beaucoup maintenant j'ai compris

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