Enigme : le lac inclus entre des terrains carrés...

yoshi · 09-08-2008 18:42:57

Bonjour,

Quelle est la surface du lac ?

<< J'ai été l'autre jour à une vente immobilière, mais je me suis abstenu de tout achat à cause d'un problème bizarre qui se posait.
Le terrain se présentait comme le montre l'affiche. Il était donné pour 560 hectares ; c'est bien la somme des surfaces indiquées sur le plan mais comme le lac était compris dans le lot, la question se posait de savoir si le lac était ou non inclus dans les 560 hectares.
Le commissaire-priseur garantissait 560 hectares « à quelque chose près ». Cela ne satisfaisait pas les acheteurs, nous le laissâmes donc s'époumoner tout seul et disputer la parole aux crapauds du lac qui n'était en réalité qu'un marécage.
Le problème que je propose, est de déterminer la surface de ce lac triangulaire entouré comme sur l'affiche par des lots carrés de 370, 116 et 74 hectares. Le problème est particulièrement intéressant pour ceux qui ont un penchant pour les mathématiques, car il donne une réponse bien définie à un problème qui, traité par les méthodes habituelles, produit une fraction décimale sans fin. >>

Solution très sioux, parce que le dessin fourni avec la solution et les dimensions utilisées n'y sont pas explicitées. Je viens de comprendre, alors que j'avais déjà cherché plusieurs fois depuis quelques temps...

@+

[EDIT]
Je viens de voir ton post, Barbichu, je vais y réfléchir...

[EDIT](2)
Arf ! Probabilités. Le seul domaine où je fais une fixation...

Dernière modification par yoshi (09-08-2008 18:46:46)

Barbichu · 09-08-2008 19:38:26

Hello,
amusant, on nous donne le carré des cotés en fait, ça me fait penser à al-kashi :
je note a², b² et c² par ordre de croissant, les trois aires des carrés et S l'aire du triangle.
on a a² = b² + c² - 2bc cos(t)

On pose X = (b²+c²-a²)/2, on a alors : b²c² cos²(t) = X²
Or S = bc | sin(t) |
Donc S² = b²c²sin²(t) = b²c²(1-cos²(t)) = b²c² - X²
Donc S = sqrt(b²c² - X²)

AN : S = sqrt(484) = 22
(et, miracle !!! on a la même chose en permuttant a b et c !!!)
++

Dernière modification par Barbichu (09-08-2008 19:40:44)

yoshi · 09-08-2008 19:45:26

Re,

1. C'est la 2e fois que tu utilises l'acronyme AN. Ca veut dire quoi ?
2. Quelle est ta réponse ? 22 ha ? Si oui, Sam Loyd et toi n'êtes pas d'accord... Et de loin !
Il ne fait appel, une fois le dessin fourni et les dimensions données, qu'au théorème de Pythagore.
Ce qui n'est pas dit, c'est d'où sortent les dimensions sur le dessin...

@+

Barbichu · 10-08-2008 03:28:41

Re,
rhô mais j'en ai marre de me planter. Je suis parti de S = bc |sin(t)| or c'est S = 1/2 bc|sin(t)| !
Du coup S =1/2 sqrt(b²c² - X²)
Et l'A(pplication) N(umérique) nous donne : S = 11 hectares !

Bon, et voici une démo n'utilisant que le théorème de pythagore, soit E,F,G les trois sommets du triangle, tels que EF=a FG=b et GE=c (donc EF longe le petit carré, FG le moyen et GE le grand).
Maintenant on pose H la hauteur issue de F. Soit r le rapport EH/EG et h = FH (la hauteur).
On a EF² = EH² + FH² et FG² = HG² + FH², par le théorème de pythagore (x2)
D'où : a² = r²c² + h² et b² = (1-r)²c² + h²
Faisons la différence : b²-a² = (1-2r)c² donc r = 1/2*(1-(b²-a²)/c²) = (1/c²)*(c²+a²-b²)/2
Puis injectons dans la première égalité : h² = a² -r²c² = a² - (1/c²)*((c²+a²-b²)/2)²
Et 4S² = h²c² = a²c² - ((c²+a²-b²)/2)²
et S = 1/2 sqrt(a²c² - ((c²+a²-b²)/2)²) ce qui rejoint le calcul par la méthode précédente (sans oublier l'invariance de cette formule par permutation de a b et c)

++

Dernière modification par Barbichu (10-08-2008 03:45:26)

yoshi · 10-08-2008 10:01:35

Re,

Et voici la démo de Loyd.
D'abord le dessin que je décris.
On considère un triangle ADB, rectangle en D avec AD < AB.
A l'intérieur de ce triangle, près de l'hypoténuse [AD], on place un point C.
Le triangle ACB représente le lac de la figure.
DE C on abaisse les perpendiculaires sur [AD] et [BD] respectivement en E et F.
Et Loyd commence par : AD² = 370.... ok !
Puis il enchaîne avec AD = 9 et BD = 17.
Je viens de vérifier via le langage Python; c'est la seule paire {a,b} de nombres entiers tels que 370 = a² + b²...
Puis il fait de même en partant de AC² =74 (5² + 7² ) et de BC² = 116 (10² + 4²).
IL arrive donc à AE = 5, ED = 4, DF = 7 et FB = 10.

A partir de là, c'est du calcul niveau 6e...
Aire du triangle ADB = (9 * 17)/2 = 76,5 ha
Aire du triangle AEC + Aire rectangle EDFC + Aire triangle CFB = 5*7/2 + 4*7 + 4*10/2 = 17,5+28+20 = 65,5 ha
Différence : 76,5 - 65,5 = 11 ha.

Deux points qui me gênent :
- Comment penser à ce dessin ?
- Pas de preuve de l'unicité des décompositions des 2 carrés (il me semble pourtant avoir déjà vu qq ch là-dessus). J'ai apporté la preuve informatique, mais ça ne me satisfait pas...

Réactions ?

@+

[EDIT]
Erreur. Autre solution 370 = 19² + 3² (je ne l'avais pas vu dans la liste des essais : j'avais choisi un affichage de TOUS les essais)

Barbichu · 10-08-2008 12:21:59

Salut,

yoshi a écrit :

On considère un triangle ADB, rectangle en D avec AD < BD.
A l'intérieur de ce triangle, près de l'hypoténuse [AB], on place un point C.
Et Loyd commence par : AB² = 370.... ok !

Sinon, globalement, c'est ce que j'appelle une solution parachutée (i.e. ça marche, mais le seul moyen de la trouver est le hasard, le non déterminisme ou bien en ayant soi-même fabriqué le problème), en plus il y a un point que tu n'as pas mis en valeur et qui relève du miracle : Il faut que les décompositions en somme de deux carrés respectent l'alignement de D, E et A, ainsi que de B, F et D. Un simple échange de cotés (on prend EA=7 et EC=5) suffit à briser l'alignement ...
++

Dernière modification par Barbichu (10-08-2008 12:22:22)

yoshi · 10-08-2008 13:24:18

Re,

Merci M'sieu, ça me rassure sur mon état mental : voilà plusieurs mois (!) que j'examine ce dessin et la réponse et que ça paraissait "étrange" cette apparition d'un dessin qui n'a pas grand chose à voir avec celui de départ.
Ce n'est qu'hier en regardant une nouvelle fois cette solution que l'idée m'est venue concernant, l'origine de 10,7,5 et 4. Je n'avais pas pensé qu'il avait pu partir de là pour son "Lake Puzzle" et non l'inverse !
Parce que Loyd montre que ça marche, mais d'où ça vient.... Silence radio.
Et en plus, la décomposition de 370 comme somme de deux carrés, n'étant pas unique (y a-t-il pensé ?) ça démolit à mon sens toute sa démonstration.

Je préfère de loin, une solution, via calculs littéraux, bien plus cohérente...

@+

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#1 09-08-2008 18:42:57

Enigme : le lac inclus entre des terrains carrés...

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Re : Enigme : le lac inclus entre des terrains carrés...

#3 09-08-2008 19:45:26

Re : Enigme : le lac inclus entre des terrains carrés...

#4 10-08-2008 03:28:41

Re : Enigme : le lac inclus entre des terrains carrés...

#5 10-08-2008 10:01:35

Re : Enigme : le lac inclus entre des terrains carrés...

#6 10-08-2008 12:21:59

Re : Enigme : le lac inclus entre des terrains carrés...

#7 10-08-2008 13:24:18

Re : Enigme : le lac inclus entre des terrains carrés...

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