Les échelles

yoshi · 26-07-2008 09:19:11

Bonjour,

Une ruelle de largeur inconnue est bordée de deux hauts murs.
Le sommet d'une échelle de 5 m de long, dont le pied s'appuie contre l'angle d'un mur et de la ruelle, s'appuie elle contre le mur opposé.
Une deuxième échelle de 3 m, est posée de la même façon mais de façon "symétrique".
Ces deux échelles se croisent à 1 m du sol...
Quelle est la largeur de la rue ?

@+

yoshi · 27-07-2008 18:35:04

Salut,

Je vois que j'ai oublié de préciser que le sol de la rue est horizontal et que les murs sont verticaux.
Cela allait de soi, m'enfin, le préciser ça "ne mange pas de pain"...
Ainsi en 2D, on peut considérer que les deux échelles sont représentées par les diagonales d'un trapèze rectangle.

@+

Fred · 27-07-2008 22:54:12

J'ai esquissé un calcul à coup de Thalès et de Pythagore....
Mais je suis déçu, je ne trouve pas un résultat "joli".
J'ai dû me tromper!

Fred.

Barbichu · 27-07-2008 22:58:20

Salut,
après acharnement à vouloir trouver une solution exacte, je me suis résolu à trouver une solution numérique, sachant que la solution exacte est la seule racine comprise entre 0 et sqrt(8) d'une équation polynomiale de degré 8. En fait il s'agit d'une équation de degré 4 en x², dont on peut donc toujours trouver une solution algébrique en fonction des coefficient, mais je n'ai trouvé aucune simplification lisible de celle-ci, et maxima non plus ...
Sa valeur approchée (à l'aide d'un logiciel de calcul formel est : 2.69810691677670 (avec la précision qu'on imagine).
Ai-je loupé quelque chose ?
++
PS : je viens de voir le message de fred, donc pour comparer, voici mon équation : 4(25-x²)(9-x²)=((24-x²)(8-x²)-1)². Si on me le demande, je me lancerai dans la démo que la largeur est effectivement solution de cette équation.

Dernière modification par Barbichu (27-07-2008 23:05:03)

Fred · 27-07-2008 23:11:38

Quant à moi, je dois d'abord résoudre une équation du type

b²(1-1/(b-1)²)=16,
puis 9=x²+b².

Je n'ai pas été plus loin pour voir si c'était possible.

Fred.

Barbichu · 27-07-2008 23:43:08

Cela revient exactement au même que moi : la première équation est une équation de degré 4 en b et une fois les 4 éventuelles solutions trouvée, il te reste une équation de degré 2 en x à résoudre en connaissant b.
++

Dernière modification par Barbichu (27-07-2008 23:43:29)

ABB · 28-07-2008 00:19:32

Bonsoir
Soit ABCD le trapèze, tel que [AC] représente l’échelle de longueur 5m et [BD] représente l’échelle de longueur 3m. on démontre en utilisant THALES que : [tex]\frac{1}{BC}+\frac{1}{AD}=1[/tex]
En utilisant le théorème de PYTHAGORE on trouve que [tex]BC^2-AD^2=16[/tex]
On pose [tex]x=AD+BC[/tex] et [tex]y=AD-BC[/tex]
Alors : [tex]x^2-y^2=4x[/tex] et [tex]xy=16[/tex]
Cela nous conduit à l’équation [tex]x^4-4x^3-16^2=0[/tex]
En étudiant la fonction f définie sur ]0 ;8[ par [tex]f(x)=x^4-4x^3-16^2[/tex] on trouve que l’équation [tex]f(x)=0[/tex] admet une seule solution a telle que [tex]5<a<6[/tex]

Barbichu · 28-07-2008 01:04:45

bien vu, je n'arrivais pas à trouver d'équation de degré 4 sans termes d'ordre 1 et 2, mais je n'avais pas pensé à faire x²-y² ...

awsw · 28-07-2008 02:01:09

Bonjour!

une methode moins elegante mais qui a le merite d'être la mienne ;)

j'utilise les memes notations que M. ABB pour le trapeze, d est la largeur de la rue, et je me place dans un repere B,BC,BA
BA²=25-d² CD²=9-d²

j'exprime l'equation des droites portant les echelles dans le repere,
pour l'echelle de 3m y3(x)=f(d).x
pour celle de 5m y5(x)=(d-x).g(d)
pour trouver l'ordonnée (la hauteur) du point de concours des deux echelles on resout y5=y3 (d'inconnue x) et on remplace dans y3 on obtient que cette hauteur vaut
h=sqrt((9-d²)(25-d²))/(sqrt(9-d²)+sqrt(25-d²))
en exprimant que cette hauteur vaut 1 on tombe sur une equation moche en d² et à coups de ti89 on obtient la meme valeur approchée que M. Barbichu (avec moins de decimales (j'ai pas maple moi^^))

Barbichu · 28-07-2008 02:11:52

awsw a écrit :

(j'ai pas maple moi^^))

moi non plus, j'utilise maxima (http://maxima.sourceforge.net/wiki/), moins efficace mais libre et gratuit.
++

JJ · 28-07-2008 08:28:16

Bonjour,

ce problème des échelles qui se croisent et que l'on retrouve périodiquement sur les forums de maths ! Exemples :
http://www.espacemath.com/foreche1.htm
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/p … 9200&t=920
http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthr … e&id=13334
etc...
Formules (par exemple) dans :
http://mathworld.wolfram.com/CrossedLaddersProblem.html

JJ · 28-07-2008 08:39:08

http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/p … p?8,356268
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/p … p?8,332665

yoshi · 28-07-2008 10:24:22

Bonjour,

Décidément JJ, tu es un puits un science : dès qu'un problème a été traité quelque part, paf, tu nous sors la (les) référence(s) ! :-)
Bon, ce problème aussi ne date pas d'aujourd'hui. Je me souvenais encore que la réponse était solution d'une équation du 4e degré, ce qui est bien le cas...
Là, je n'ai pas été trahi par mes souvenirs...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-07-2008 09:19:11

Les échelles

#2 27-07-2008 18:35:04

Re : Les échelles

#3 27-07-2008 22:54:12

Re : Les échelles

#4 27-07-2008 22:58:20

Re : Les échelles

#5 27-07-2008 23:11:38

Re : Les échelles

#6 27-07-2008 23:43:08

Re : Les échelles

#7 28-07-2008 00:19:32

Re : Les échelles

#8 28-07-2008 01:04:45

Re : Les échelles

#9 28-07-2008 02:01:09

Re : Les échelles

#10 28-07-2008 02:11:52

Re : Les échelles

#11 28-07-2008 08:28:16

Re : Les échelles

#12 28-07-2008 08:39:08

Re : Les échelles

#13 28-07-2008 10:24:22

Re : Les échelles

Pied de page des forums