cemi cercle et rectangle [Résolu]

caudal · 11-01-2008 17:43:22

Bonjour,

combien faut il de demi cercle d'un rayon de 20cm pour couvrir la totalité de la surface d'un rectangle de50cmx21 cm ? sachant que les demi cercles peuvent se superposer, mais aucun point du rectangle ne peut rester non couvert.

merci de votre aide

Edit@Galdinx : Post déplacé dans une section plus appropriée

Dernière modification par galdinx (11-01-2008 23:57:05)

Barbichu · 12-01-2008 05:02:29

Bonsoir,
Si j'étais méchant, je dirais 42, je suis sûr de ne pas me tromper :D
Bon j'imagine que la question est de minimiser ce nombre.
Je pense que la réponse est 4 disques. En tout cas j'y arrive avec 4 (2 centres sur chaque grand coté à 10 et 40 cm du bord) et il me semble que j'arrive à démontrer qu'avec 3 c'est impossible en raisonnant sur les sommets du rectangle. (Il y a au moins un demi-disque qui couvre 2 sommets d'un petit coté, et ensuite on étudie jusqu'où il peut aller pour montrer qu'on ne peut pas le "rejoindre" à l'aide des deux autres, pour des raisons soit de surface, soit de distance.)
++

Dernière modification par Barbichu (12-01-2008 05:03:26)

jeavieve · 12-01-2008 11:25:28

Bonjour,
Il y aurait peut-être une réponse à 3 à calculer car mon dessin est "tangent". Tracé: on trace les cercles de rayon 20 à partir des sommets d'un petit coté. On trace le cercle de rayon 20 dont le centre est l'intersection des 2 cercles. On a couvert une partie du rectangle avec 2 demi cercles. On finit de le couvrir avec le troisième demi cercle dont le centre est obtenu de la même façon sur le coté opposé, son diamètre étant parallèle aux petits cotés.
++

john · 12-01-2008 12:58:59

Salut à tous,
Pour résoudre ce pb. de recouvrement, on peut passer par GeoLabo.
J'ai utilisé Xfig (grand merci à Barbichu !!!) que je viens d'installer (mais non, pas Bar....) sur mon PC avec beaucoup de difficultés comme d'hab... car "ça c pa mon truc !").
Il y a certainement d'autres manières d'insérer une image bitmap ici :

ou dans d'autres formats plus avantageux.
Je vais consacrer un peu de temps au manuel Xfig.

A+

[EDIT]
Voilà, Maître John : 2 tags pour encadrer l'image...
Yoshi

Merci à toi Yoshi et meilleurs voeux de santé.
Je suis bien mauvais élève car tu m'avais déjà expliqué comment insérer une image.
A+

Dernière modification par john (16-01-2008 12:41:12)

caudal · 15-01-2008 16:05:58

Bonjour et merci pour vos réponses, mais je chercherais plutôt un moyen mathématique et non pas visuel. d'un point de vue visuel je suis d'accord que c'est relativement simple.
je me rends compte que ma question n'était pas assez précise, je rajoute donc quelques précisions :
Partons du principe qu'il faut 4 demi cercles, car la barre du diamètre ne peut pas être à l'intérieur du rectangle. ou dit autrement ce sont 4 cercles dont seule la moitiée peut recourvir le rectangle et le point central de ce cercle doit obligatoirement être en dehors du rectangle.

je ne sais pas si c'est plus clair.
merci

jeavieve · 15-01-2008 22:31:23

Bonsoir Caudal,
Je n'ai pas encore installé Geolabo, mais avec une règle, un compas, un crayon et une gomme on peut encore faire de la géométrie quand on n'a pas son ordi portable. l'inconvénient c'est qu'on ne peut pas facilement envoyer des figures faites avec cet outil remarquable.
Donc, je suggère le tracé suivant: milieu des petits cotés pour centres de construction, on trace 2 cercles de rayon 20 qui coupent les grands cotés en 4 points qui seront les centres des 4 demi cercles couvrant le rectangle. C'est une des solutions possibles avec les centres à la limite du rectangle.
A toi de jouer maintenant.
Bonne soirée

john · 16-01-2008 02:45:49

Bonjour,
1/ j'adore les problèmes où l'on modifie les règles du jeu dès qu'une réponse est trouvée !
2/ Il y a bien longtemps que je n'ai plus ni papier, ni crayon, ni gomme. Mais j'ai quand-même gardé ma boîte de compas pour montrer à mes petits enfants (quand ils seront plus grands car les pointes, c'est dangereux).
3/ Je ne comprends pas pourquoi on s'acharne avec 4 alors que 3 demi-disques disposés très simplement suffisent (je veux dire avec une construction à la fois rigoureuse et enfantine).
4/ Je propose donc la réponse de 43 au cas où l'on demande un nombre maxi et celui-ci, juste pour être un peu meilleur que Barbichu.
Bonne nuit.

caudal · 23-01-2008 11:56:15

c'est gentil de vos réponses, mais je cherche absolument un moyen sous forme de calcul et non pas de figures géométriques. ici j'ai donné un exemple de surface de rectangle et de cercle, mais je souhaiterais pouvoir modifier ces deux variables à ma guise.
si vous n'avez pas de réponse, ce n'est pas grâve, je vais chercher ailleurs et encore merci.

nicolas

jeavieve · 23-01-2008 19:22:45

Bon soir Caudal
A toi de vérifier bien sûr, il ne doit y avoir de solution que s'il existe un "triangle" extérieur au rectangle constitué par les cercles de rayon r et centrés l'un au milieu du petit coté et l'autre au centre du rectangle et le segment intercepté sur le grand coté par ces cercles. Tout point de ce "triangle" est un centre de cercle de rayon r répondant à la question (Les 3 autres étant obtenus par symétrie / axes).
Le triangle existe si les deux cercles se coupent sur le grand coté, exprime cela en calculant avec Pythagore les longueurs des segments interceptés sur le grand coté en fonction de r et L , l les cotés du rectangle. J'obtiens r>=1/4sqrt(L²+4l²). On peut faire tout le calcul avec r²,l²,L²
J'ai réussi à faire une figure avec Geolab, mais je ne sais pas la joindre (John ou Yoshi svp car je n'ai pas vu ni compris les 'tags').
A+

yoshi · 23-01-2008 20:51:50

Bonsoir,

En ce qui concerne les tags (ou balises en français), voici la "syntaxe pour le premier dessin de John :
[ img]http://img85.imageshack.us/img85/7850/r … an2kx9.png[ /img]
Ici, l'image ne s'affiche pas parce que pour rendre la syntaxe apparente, j'ai ajouté un espace entre le [ et le i de img et un autre entre le [ et le \ de \img : ces espaces ne doivent pas être...
Il faut uploader ton image, par exemple, sur le site de imageshack : il y a possibilité d'intégrer une barre d'outils Imageshack à ton navigateur : j'en ai une sur FireFox, que je rends apparente seulement durant ce laps de temps.

@+

jeavieve · 23-01-2008 21:00:21

Merci Yoshi,
C'est noté, je vais essayer l'envoi.
A+

jeavieve · 23-01-2008 21:28:07

Re bonsoir,

L'image est peut-être là ?

Sinon je recommencerai, mais pas de suite.
Bonne soirée

jeavieve · 24-01-2008 10:19:39

Bonjour Caudal,
Cette proposition par symétrie par rapport aux 2 axes n'est pas la seule solution de recouvrement. Il y a des points en dehors des "triangles". Je précise pour r plus grand que le minimum.
Bonne journée

Dernière modification par jeavieve (24-01-2008 10:31:14)

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