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mokdad

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Nombres complexes

Bonjour!
Soient [tex]a[/tex] un nombre réel et [tex]b[/tex] un nombre complexe. Prouver que
[tex]\displaystyle  \sup_{\theta\in\mathbb{R}} \big|\operatorname{Re}\left(e^{i \theta} a\right)+\operatorname{Re}\left(e^{i \theta} b\right) \big|+\sqrt{(\operatorname{Re}\left(e^{i \theta} a\right)-\operatorname{Re}\left(e^{i \theta} b\right))^{2}+(r(\theta))^{2}} \geq \sup_{\theta\in\mathbb{R}} \sqrt{4a^{2}cos^{2}\theta+ (r(\theta))^{2}}[/tex] avec [tex]r(\theta)[/tex] ne depends ni de [tex]a[/tex] ni de [tex]b[/tex].
j'ai remarqué que le membre à droite est obtenu en prenant [tex]a=-d[/tex].
Merci d'avance!

Dernière modification par mokdad (02-05-2021 03:28:25)

Roro

Membre expert

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Messages : 1 565

Re : Nombres complexes

Bonjour,

Ton inégalité sera vérifiée si tu sais montrer que, pour tous réels $x$, $y$ et $r$, tu as
$$|x+y|+\sqrt{(x-y)²+r²} \geq \sqrt{(2x)²+r²}.$$

En posant $a=\frac{x-y}{x+y}$ et $b=\frac{r}{x+y}$ ça revient à montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ tu as
$$1+\sqrt{a²+b²} \geq \sqrt{(1+a)²+b²}.$$

Si tu mets tout au carré, ça donne
$$2\sqrt{a²+b²} \geq 2a.$$

Cette dernière inégalité étant toujours vraie, tu dois réussir à remonter jusqu'à ce que tu veux... aux erreurs de calculs près (je n'ai pas relu) !

Roro.

Dernière modification par Roro (02-05-2021 09:24:20)

Moktad

Invité

Re : Nombres complexes

Bonjour!

Merci infiniment de cette astucieuce preuve.