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charles_mld

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Sommes et calculs algébriques

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette somme, je ne connais pas la méthode pour ce genre de somme et j'ai un peu de mal à me les représenter, pouvez-vous me mettre sur la piste s'il-vous-plaît ?
[tex]\sum\limits_{0 \leq i,j \leq n}^{n} x^{i+j}[/tex]
Merci pour votre aide

bridgslam

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Re : Sommes et calculs algébriques

Bonjour,

Normalement, avec [tex]S_n = \sum\limits_{j=0}^n  x^j[/tex] qui est simple à calculer ( par exemple dans \mathbb{C} ou dans un corps donné, en distinguant deux cas ) , tu dois trouver que le résultat final vaut [tex](S _n)^2 [/tex], sauf erreur.

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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bridgslam

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Re : Sommes et calculs algébriques

...Je voulais dire dans [tex]\mathbb{C}[/tex] ou un corps donné, pardon j'ai omis les balises latex ... mea culpa

Alain

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charles_mld

Invité

Re : Sommes et calculs algébriques

D'accord donc j'ai : [tex]\sum^n_{i=0}\sum^n_{j=0}\,x^{i+j} = (\sum^n_{i=0}x^i)^2[/tex]
Et ça suffit ?

bridgslam

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Re : Sommes et calculs algébriques

Bonjour,

Comme dit auparavant il est facile d'exprimer en fonction de x la somme simple ( de droite) si tu veux une expression finale en fonction de x.
J'imagine que tu est de toute façon au moins dans un anneau unitaire pour que +, x , et la puissance 0 aient un sens.
Si tu est dans un corps ( R, C , Q , Z/pZ avec p premier ...)  il est alors facile de terminer pour avoir  l'expression finale en fonction de x suivant sa valeur. Sinon (x -1) n'est pas forcément inversible si on n'est pas dans un corps.
Au départ tu ne dis pas dans quel ensemble x se situe... sans doute le plus important pourtant.
Si x est une matrice carrée telle que I - x est inversible, par exemple, tu auras telle formule, si x = I tu en auras une autre etc.
La forme algébrique sera globalement la même si l'ensemble où on opère a des propriétés algébriques minimum, ainsi que x...

Après, je te laisse parachever la rédaction finale, pour ne pas tout te faire, ce qui n'est pas du tout  le but de ce forum.

Alain

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charlesmld

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Re : Sommes et calculs algébriques

L'exercice ne précise pas l'ensemble, j'imagine que c'est celui des entiers naturels...

Ophephe

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Re : Sommes et calculs algébriques

Bonjour,

Normalement, avec [tex]S_n = \sum\limits_{j=0}^n  x^j[/tex] qui est simple à calculer ( par exemple dans \mathbb{C} ou dans un corps donné, en distinguant deux cas ) , tu dois trouver que le résultat final vaut [tex](S _n)^2 [/tex], sauf erreur.

Alain

Bonjour,

Je dirais comme Alain donc tu as en résultat: $$ \left( \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right)^2 $$

C'est une simple somme géométrique au carré a priori

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Physicien et ingénieur, rédige des cours de physique mathématique pour les étudiants du supérieur.

bridgslam

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Re : Sommes et calculs algébriques

Bonjour,

Avec le cas particulier x = 1 à traiter séparément... et ça marche ( condition suffisante ) si x est différent de 1 dans un corps commutatif car 1/(x - 1) existe.
En dehors du cas x = 1, ça peut fonctionner de façon similaire si on est dans un anneau unitaire avec x - 1 inversible, mais sans commutativité multiplicative il faut être prudent sur l'écriture ( facteur inverse à gauche ou à droite?)
Il est nécessaire de toute façon  de préciser dès le départ dans quel ensemble on fait les calculs, dans ce genre de question.
Ce n'est apparemment pas le cas d'après la réponse de Charles_mid.
Hélas.
Le mieux est de se placer d'emblée dans un corps commutatif, pour des calculs simples.

Alain

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charlesmld

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Re : Sommes et calculs algébriques

Oui donc [tex]\mathbb{Z}[/tex] serait le plus adapté. Merci à tous pour votre aide

bridgslam

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Re : Sommes et calculs algébriques

Re-bonjour,

euh même plutôt [tex]\mathbb{Q}[/tex]  pour pouvoir sortir de [tex]\mathbb{Z}[/tex] avec un quotient...

Si vraiment tu veux travailler dans un cadre arithmétique, il ne reste guère que Z/pZ avec p premier.

Alain

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