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#1 13-10-2007 09:15:43

za
Membre
Inscription : 13-10-2007
Messages : 2

Complexes : points alignés [Résolu]

Bonjour tt le monde,

j'aimerais savoir s'il n'y a pas de méthode plus simple pr déterminer les complexes z tel ke   z ,z², z^5 sont alignés ke d'écrire Im((z-z^5)/(z-z²))=o et de poser z = x+iy !

merci d'avance pr ceux ou celles ki ont une ptite idée .

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#2 13-10-2007 09:56:50

yoshi
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Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 086

Re : Complexes : points alignés [Résolu]

Bonjour za,

Bienvenue sur BibM@th.
Félicitations, tu as réussi à économiser 12 lettres...
Je te renvoie aux règles d'utilisation du Forum :

Soignez la rédaction de vos messages. Choisissez un titre de message clair et explicite, soignez l'orthographe (autant que vous le pouvez) et restez respectueux et courtois. Le style SMS, de plus en plus courant sur les forums, est à proscrire.

J'ai dû en outre, modifier le titre de ton sujet : "Complexe" étant un peu trop vaste et vague.
Cela dit, je vais examiner ton exercice et quelqu'un de passage répondra peut-être avant moi b: je l'y encourage vivement...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 13-10-2007 10:36:50

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 086

Re : Complexes : points alignés [Résolu]

Re,

On passe par la forme trigonométrique.
Si tu poses :
[tex]Arg(z)=\theta[/tex]
alors :
[tex]Arg(z^2)=2\theta\;et\;Arg(z^5)=5\theta[/tex]
Il vient donc :
[tex]5\theta-2\theta=2\theta-\theta [mod \pi][/tex]
Ce qui te donne 0 et pi comme solutions, z est rél pur et donc les points cherchés appartiennent à l'axe des abscisses...

Ca te va ?

@+

[EDIT] Désolé, je me suis "emmêlé les pinceaux", il y a d'autres solutions... Je m'y attelle...

Dernière modification par yoshi (13-10-2007 12:51:23)


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#4 13-10-2007 16:11:41

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 086

Re : Complexes : points alignés [Résolu]

Salut,

Oublie ma méthode...
Je ne vois pas mieux que ta solution à condition de simplifier d'abord l'expression
[tex]\frac{z^5-z^2}{z^2-z}[/tex]
par factorisations préalables, sinon les calculs sont "imbuvables".
J'arrive à :
z = x + iy tel que :
[tex]y=0\;ou\;y^2=3x^2+2x+1[/tex]

Mais quand même...

@+


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#5 13-10-2007 17:41:17

za
Membre
Inscription : 13-10-2007
Messages : 2

Re : Complexes : points alignés [Résolu]

salut je te remercie et je  m'excuse d'écrire en style sms  , cela m'a permis d'aller plus vite mais cela n'enlève en rien ma courtoisie . Et oui le temps m'est précieux cette année et j'en oublie les bonnes manières .Sinon comment mettre 9+16i sous forme exponentielle?ET POURQUOI ta méthode du début est invalide? encore merci

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#6 13-10-2007 18:16:44

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 086

Re : Complexes : points alignés [Résolu]

Bonjour,


Ma méthode du début est invalide (dommage, hein ?) parce que
1. j'ai trouvé d'autres solutions...
2. Parce que [tex]Arg(z^5-z^2]\not = Arg(z^5)-Arg(z^2)[/tex]
3. En fait, j'ai raisonné sur A(z), B(z²), O et C(z^5) alignés, alors que A, B, C peuvent être alignés sans que O le soit avec eux...


Décidément, tu devrais bien prendre le temps de consuler les règles du Forum : un sujet=une discussion, pas deux dans le même post...
Quant au gain de temps... Laisse-moi rire : 10 lettres, soit de 1 à 2 s !

Ton 9 +16i me chiffonne, je ne vois pas bien comment trouver la valeur exacte de l'argument avec ces valeurs...
M(enfin, bon, la forme exponentielle est du type
[tex]z = r.e^{i\theta}[/tex]
Où r est le module de z (r = |z|), et theta, l'argument...

Dans ton cours, ton prof a sûrement montré que :
[tex]si\; z = x + iy,\; alors\;r=sqrt{x^2+y^2}[/tex]
Donc déjà tu dois calculer r...
Ensuite, il a aussi mis cette racine en facteur :
[tex]z=sqrt{x^2+y^2}\left(\frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}+i\frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}\right)[/tex]
Et ensuite il a posé :
[tex]cos\theta=\frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}\\sin\theta=\frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}[/tex]
Tu sais ce qui te reste à faire...

@+


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