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Lynow

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Théorème limite centrale

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

On désire synthétiser informatiquement une loi normale réduite N(0,1). 

Pour cela, on dispose de la fonction X=Rnd() qui génère une loi uniforme sur l’intervalle [0 ;1].

i)Rappeler les paramètres (Espérance et écart type de X).

Pour une loi uniforme, E(X) = (a+b)/2  et  [tex]\sigma  = \frac{(b-a)}{\sqrt{12}}[/tex]

On génère la v.a Y à partir de M  réalisations de X comme suit :   [tex]Y = \frac{X_{1} + ... + X_{M} }{M}[/tex]

ii) Justifier que Y se rapproche d’une loi normale dont on précisera les paramètres.

Je sais que quand n->+infini, la loi de moyenne  [tex]X=\frac{(X_{1}+X_{2}+ ...X_{n})}{n}[/tex]  se rapproche de la loi  [tex](m,\frac{\sigma }{\sqrt{n}})[/tex].  Ce qui revient à dire que la loi de la v.a. [tex]Y' =\frac{ (Y-m)}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }[/tex] se rapproche de la loi normale centrée réduite.

Avec m = espérance dite précédemment, et ainsi que l'écart-type ...

iii)On construit la loi Z=aY+b, où a et b sont deux constantes réelles. Déterminer a et b afin que Z se rapproche de N(0,1).

On a [tex]Y' =\frac{ (Y-m)}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} }[/tex] qui est de la forme [tex]aY+b[/tex] ? Par contre je ne vois pas comment trouver a et b, vu que les formes sont vraiment différentes ...

iv)A.N. : M=12.

Chlore au quinoa

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Re : Théorème limite centrale

Salut !

i) Oui c'est juste ! Tu sais d'où ça vient ?
ii) "Je sais que" comment ça ? Ce n'est pas un théorème de ton cours ;) donc démontre-le ou utilise des propriétés connues (linéarité ?) pour aboutir à cela. Que vaut $m$ d'ailleurs ?
Ensuite pour une loi de probabilité il faut préciser le type de convergence (en loi...), même si ce n'est pas demandé ici, car chacune a une définition différente.
iii) Tu avais déjà répondu lors de la question précédente, tu possèdes déjà $a$ et $b$.

Adam

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"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

Lynow

Invité

Re : Théorème limite centrale

Salut !

i) Oui c'est juste ! Tu sais d'où ça vient ?

Oui, je sais le démontrer graphiquement.

Ensuite pour ii), j'ai repris ce que j'avais dans le cours pour le théorème et j'ai essayé de faire une comparaison avec l'exercice. Mais, pour être honnête, j'ai vraiment du mal à comprendre ce que vous m'avez dit. Il y a quelque chose qui me bloque dans cet exercice, qui est probablement de mettre en rapport la formule du cours avec l'exercice.

Chlore au quinoa

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Re : Théorème limite centrale

Graphiquement ?? Oulalala un dessin es très utile et souvent indispensable pour visualiser les choses, mais ne constitue en rien une démonstration ! Utilise la définition de l'espérance et du moment d'ordre 2 pour les retrouver
Pour le type de convergence oublie, il s'agit sans doute d'une convergence en loi.

La chose que tu dis "savoir" est une application du Théorème central limite. C'est même vrai pour toutes les lois, pas seulement la loi normale.
Essaie de le démontrer c'est le principe de ta question !

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J. von Neumann