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#1 08-01-2021 00:24:08

Free13
Membre
Inscription : 18-09-2020
Messages : 35

intégrabilité

Bonjour !

Je me permets de venir vers vous car je suis face à quelques questions auxquelles je ne parviens pas à trouver de réponse dans mon cours (j'avoue qu'à l'approche des examens je teste un peu les limites de ma compréhension du cours haha).


Si on a une fonction [a,b] -> R :

1) est ce que l'on peut dire que tout point de l'intervalle fermé borné [a, b] est atteint par cette fonction ?

2) est ce que si f est croissante sur ce même intervalle, elle y est intégrable, et si oui pourquoi ?

3) on dit que si une fonction est continue sur un intervalle fermé borné, alors elle y est intégrable.
      => par contraposée, est ce que si elle n'y est pas intégrable elle n'y est pas continue ?
      => est ce qu'intégrabilité implique continuité ?
      => y a t 'il d'autres critères d'intégrabilité (autre que l'égalité des sommes de darboux également)

4) est ce que si f est bornée sur I = [a, b ] , elle est intégrable sur I ?


Merci d'avance !!

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#2 08-01-2021 01:20:02

Chlore au quinoa
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Inscription : 06-01-2021
Messages : 305

Re : intégrabilité

Bonsoir !

1) Euh sans aucune hypothèse sur la fonction ? Tu dois pouvoir trouver des contre-exemples je te laisse en chercher un...

2) Vrai ! Si ta fonction est croissante sur $[a,b]$ alors elle est en particulier bornée sur cet intervalle et atteint ses bornes qui sont $f(a)$ et $f(b)$ si tu appelles $f$ ta fonction. Pour la démonstration, tu peux subdiviser $[a,b]$ et encadrer $f$ par deux fonctions en escalier prenant les valeurs de $f$ aux points de ta subdivision. Tu devrais la faire elle est intéressante.

3) Une propriété et sa contraposée sont équivalentes cher ami.
    Comment est définie l'intégrale de Riemann ?? Au départ les fonctions considérées sont de quelle forme ?
    Pour les critères euh oui il y en a d'autres (domination...)

4) Pour cela il faut l'égalité des sommes de Darboux justement. Ceci se comprend visuellement, il faut que les barres puissent se serrer de plus en plus près à la fonction

En espérant t'avoir été utile, n'hésite pas à poser des questions,

Adam


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#3 08-01-2021 11:45:57

Free13
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Inscription : 18-09-2020
Messages : 35

Re : intégrabilité

Bonjour Adam,

Déjà je tiens à dire que j'adore ton pseudo !

Merci infiniment d'avoir pris le temps de me répondre avec autant de détails.

Et ce que j'entendais par ma première question qui peut sonner complètement stupide j'en conviens, c'était par rapport à la notion d'intervalle de définition de fonction, parce que selon moi la réponse à certaines questions de type vrai faux notamment sur la notion d'intégrabilité peut dépendre de si tous les points d'un intervalle sont atteints ou non, mais encore une fois il est possible que je n'ai rien compris ...

Merci encore !

F

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#4 08-01-2021 12:12:33

Chlore au quinoa
Membre
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Messages : 305

Re : intégrabilité

La notion d'intervalle de définition n'a rien à voir avec les points qu'atteint la fonction !!

Exemple : $f : x \mapsto x+2$ est définie en particulier sur $[0,1]$ mais prend les valeurs $[2,3]$ sur cet intervalle.

Tu ne voudrais pas plutôt parler de $f([a,b])$ ?


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

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#5 08-01-2021 12:13:50

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 075

Re : intégrabilité

Bonjour Free,
juste de passage mais à mes yeux il n y a jamais de questions stupides en maths..


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#6 08-01-2021 12:14:39

Chlore au quinoa
Membre
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Messages : 305

Re : intégrabilité

Zebulor a écrit :

Bonjour Free,
juste de passage mais à mes yeux il n y a jamais de questions stupides en maths..

Avis partagé !


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J. von Neumann

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