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#1 17-09-2007 18:03:38

Gros Caramel
Membre
Inscription : 09-09-2007
Messages : 27

polynome degré 4 - je suis chanceux mais je cherche la bonne méthode

Bonjour,

Je dois factoriser le polynôme x^4 - 9x^2 - 4x + 12

Dans ce polynôme, j'ai tout de suite remarqué que x^4 - 9x^2 est une équation bicarrée et qu'elle se factorise par :

x^2 (x+3) (x-3)

J'ai ensuite, à tout hasard, divisé x^4 - 9x^2 - 4x + 12 par x-3, ce qui m'a donné x^3 + 3x^2 - 4

Sachant (x-3)(x^3 + 3x^2 - 4), le reste ne pose plus de difficulté puisque je possède une méthode robuste pour résoudre les équations de degré impair.

Mon problème est que j'ai obtenu la réponse par chance.  Quelle est la méthode rigoureuse pour factoriser mon polynôme?

merci,
SKS


Le Tao qu'on tente de saisir n'est pas le Tao lui-même;
Le nom qu'on veut lui donnern'est pas son nom adéquat.
     - Lao-tseu

Hors ligne

#2 17-09-2007 20:06:02

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 670

Re : polynome degré 4 - je suis chanceux mais je cherche la bonne méthode

Bonsoir,

  Comme pour les équations de degré 2 ou 3, il existe des formules pour exprimer
les racines des polynômes de degré 4 en fonction des coefficients.
Mais cela s'arrête au degré 4... Comme l'ont prouvé
Abel
puis Galois,
il y a des équations de degré 5 qu'on ne peut pas résoudre par radicaux, c'est-à-dire qu'on ne peut pas
exprimer simplement les racines en fonction des coefficients.

  La bonne méthode alors, pour factoriser un polynôme, est souvent de procéder comme tu as fait.
On cherche souvent une "racine évidente" au polynôme, en testant sa valeur en 0,1,2,3,-1,....
Avec un peu de chance, on va pouvoir factoriser par (X-a) et abaisser le degré.
Si le polynôme est à coefficients entiers et qu'on essaie de trouver une racine rationnelle,
on peut calculer P(p/q), avec p et q premier entre eux, et essayer de voir s'il n'y a pas de conditions arithmétiques pour trouver p ou q.

Voila, voila,
Fred.

Hors ligne

#3 17-09-2007 20:54:18

GG
Invité

Re : polynome degré 4 - je suis chanceux mais je cherche la bonne méthode

Tu as eu une bonne intuition en "isolant" la partie x^4 - 9x^2.  Sur un plan formel cependant, voici la bonne methode

Soit

f(x) = x^4 - 9x^2 - 4x + 12

On pose

g(x) = x^4 - 9x^2
h(x) = - 4x + 12

On a donc f(x) = g(x) + h(x)

Si on factorise g(x) et f(x), cela donne

g(x) = x^2 (x+3) (x-3)
h(x) = - 4(x-3)

On reassemble le tout

f(x) = (x^2 (x+3) (x-3)) + - 4(x-3)

Ce qui donne

f(x) = (x-3)(x^3+3x^2-4)

Pour le reste, on se sert de la propriété qu'il existe un nombre-racine p qui divise -4

voila,
gg

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