Transformée de LaPlace [Résolu]

cléopatre · 15-09-2007 22:47:18

Bonjour à tous les bibmatheux !

Voilà, depuis une semain on me parle de la transformée de LaPlace et disons que le prof, l'explication et la démonstration ca fait environ 10. Quand je suis allé voir un peu sur le site web, j'ai trouvé des choses mais je ne comprends pas vraiment la notion.

Il me semble que c'est quelque chose qui permet de résoudre des équations différentielles sans vraiment les résoudre, en passant par une intégrale.

J'aimerais être éclairé sur l'utilité de cette transformée et savoir comme calculer L(f(t).

Merci à celui ou ceux qui répondront.

Bises et à plus ;)

galdinx · 15-09-2007 23:24:14

Bonjour,

Je vais rapidement t'expliquer ce que j'ai compris de ce cours de SI la.

Tout d'abord pour calculer la transformée de laplace, il y a un formule d'intégrale qui existe mais que j'ai oublié et qui doit etre dans ton cours.
Toujours est-il que moi j'utilisais une table répertoriant les principales fonctions et leur transformée de laplace.
Ca ne t'aide pas beaucoup je le concois mais la suite devrait etre plus interessante.

Un des avantages de la transformée de fourier est effectivement de résoudre des équations différentielles.

En effet si on a les conditions initiales nules : f(0)=0 la tranformée de laplace de f' notée L(f')(p) est égal à p multiplié par la transormée de laplace de f

ainsi L(f')(p)= p * L(f)(p)

si on cherche a résoudre y' - y = 0 avec y(0)=0

on passe dans le domaine de laplace ce qui donne

L(f')(p) - L(f)(p) = 1 <==> p * L(f)(p) - L(f)(p) = 1
<==> (p - 1) L(f)(p) = 1
<==> L(f)(p) = 1/(p-1)

en faisant la transformée de laplace inverse (toujours d'après la table dont je parlais plus haut) on trouve f(t) = exp(t+1-1) = exp(t)

ce qui correspond bien au résultat de l'équation y'-y=0 avec y(0)=0

Voila j'espère que cet exemple élémentaire que je fais de mémoire (désolé pour les petites coquilles qui apparaitraient) t'aura un petit peu éclairé sur la question.

Sinon, je pense que tu peux aller voir le prof a la fin du cours si vraiment tu ne comprends rien de ce qu'il raconte...

+++

john · 15-09-2007 23:52:12

Salut Cléo,
C'est tout un programme que tu demandes là... mais crois bien que si j'avais une réponse simple à proposer, je n'hésiterais pas une seconde.

Un petit exemple (cuisine d'automatique !) pour commencer.
Un système linéaire du 1er ordre est représenté l'ED à résoudre :
dx/dt = a.x(t) + b.u(t)
avec la CI x(0) = xo
On cherche x(t) en fonction de u(t) et de xo.

La transformée de Laplace de l'ED donne (avec peu de pratique) :
p.X(p) - xo = a.X(p) + b.U(p)
p est la variable de Laplace
X(p) (resp U(p)) est la transformée de Laplace de x(t) (resp. u(t)).

L'ED transformée donne directement X(p) :
X(p) = xo/(p-a) + b.U(p)/(p-a)
Le premier terme est le régime libre du système soumis à la condition initiale xo.
L'autre terme est le régime forcé du système soumis à la commande u(t).

Pour revenir à x(t), on utilise la transformée inverse (calcul direct ou table de transformées).
x(t) = xo.exp(a.t) + b.Somme de 0 à t de exp(a.(t-s)).u(s).ds
Si la transformée U(p) est connue, on peut évidemment se servir d'une table pour le retour du 2ème terme.

Je ne crois pas me tromper beaucoup en disant qu'il y a plus de 100 ans que les physiciens utilisaient cette méthode (donc bien avant qu'on établisse une théorie rigoureuse il y a #1/2 siècle). De temps en temps (pour des ED plus compliquées), ça ne marchait pas mais personne ne comprenait pourquoi.

As-tu étudié la transformée de Fourrier ?
A+

cléopatre · 16-09-2007 00:28:07

Non, je ne l'ai pas étudié... Cependant, je vous remercie pour vos éclaircicements.

J'ai effectivement une table à apprendre par coeur (ce que je ne veux pas). Je préfèrerai la comprendre et voir de quoi découle toute ses formules...
La formule que tu cherchais Galdinx, je pense que c'est : F(p) = L(f(p)) = intégrale(exp(-p*t) * f(t) dt) de 0+ à l'infini.
A partir de cette formule je dois retrouver par exemple la fonction image F(p) de exp(-a*p)

Bref, je comprends mieux à quoi sers cette transformée mais j'ai encore des lacunes quand à démontrer les formules du genre :
L(f(t-taux)) = exp(-taux*p) * F(p) ou encore L(exp(-a*t*f(t))) = F(p+a)
Ou encore j'ai du mal à comprendre certaine propriété du genre : "le produit des transformées n'est pas la transformée des produits.

PS : je n'étudie pas la transformée de fourrier.

Merci à vous deux de m'avoir répondu ;) (peut etre de continuer lol) ;)
Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (16-09-2007 00:29:57)

john · 16-09-2007 01:22:02

cléopatre a écrit :

Bref, je comprends mieux à quoi sers cette transformée mais j'ai encore des lacunes quand à démontrer les formules du genre :
L(f(t-taux)) = exp(-taux*p) * F(p) ou encore L(exp(-a*t*f(t))) = F(p+a)
Ou encore j'ai du mal à comprendre certaine propriété du genre : "le produit des transformées n'est pas la transformée des produits.
PS : je n'étudie pas la transformée de fourrier.

Pour les deux 1ères formules c'est un simple changement de variable dans la définition de la transformée et ça ne doit te poser aucun pb.
Pour le "produit...", il ne faut pas oublier que la transformée est une intégrale donc linéaire c-à-d S(a+b) = S(a) + S(b). MAIS EN AUCUN CAS S(a*b) = S(a)*S(b) !!!!!!!!!!!
Si tu as du temps à perdre en prépa. tu peux assez facilement retrouver toutes les formules de ta table de tranformées (directes et inverses). C'est un excellent entraînement mais je pense que tu vas craquer avant la fin. Il y a suffisamment de précautions à prendre pour utiliser ces tables sans en rajouter.
Enfin si tu veux comprendre l'essence même de Laplace, Fourrier et bien d'autres, il va falloir te payer la théorie des distributions... bon courage !
A+

cléopatre · 16-09-2007 12:55:15

Merci pour tout, je vais m'y mettre parceque je veux comprendre... ;)

john · 16-09-2007 13:20:04

J'espère que tu ne vas pas te lancer dans la théorie des distributions... qui ne t'aidera pas à comprendre (là, je culpabilise de t'avoir branchée là-dessus). C'est "seulement" une justification mathématique rigoureuse de la cuisine qu'on te demande de faire pour le moment. Lorque tu auras intégré Normale ou l'X tu auras tout le temps (hum !) pour étudier ça.
A ta place, je me contenterais de "vérifier" quelques formules de la table en intégrant des ED linéaires.
A+

Fred · 16-09-2007 21:28:42

Bonsoir,

Moi, j'enseigne parfois la transformée de Laplace mais du côté mathématique
des choses. Je veux bien sûr donner un exemple d'équation différentielle
à résoudre, mais malheureusement pour tous les exemples que j'ai,
c'est presque toujours aussi simple de résoudre directement.
Quelqu'un a-t-il un vrai exemple ???

Fred.

john · 17-09-2007 10:57:00

Bonjour,
Effectivement Fred, on peut se poser la question : N'est-il pas plus simple d'intégrer les ED linéaires de manière classique ?

Avec Laplace, on évite la recherche de la solution générale en introduisant les conditions initiales dès le début du calcul.

Quelques cas particuliers où c'est plus rapide...

** y" + 5.y' + 6.y = 12 avec yo = 2 et y'o = 0
donne presque sans calculs y(t) = 2.

** y" + 4.y' + 4.y = t².exp(-2.t) avec yo = y'o = 0
donne avec très peu de calculs y(x) = t^4.exp(-2.t)/12

On peut aussi intégrer des choses plus compliquées telles que :
y" + y'/t + (1 -r²/t²).y = 0
Mais là, je ne vois plus bien la différence entre chercher dans une table de transformées et chercher dans une table d'intégrales.

C'est plutôt dans d'autres applications telles que l'étude des fonctions de transfert, que le calcul opérationnel est intéressant : Par exemple si l'ED comporte des paramètres à déterminer pour que la solution ne diverge pas...
A+

Fred · 17-09-2007 12:53:45

Merci, John.

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