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#1 27-09-2020 10:43:45

samy1s
Invité

Conjecture sur une fonction f à partir d'une limite

Bonjour ou bonsoir à tous,

Je bloque sur un exercice du fameux site jaicompris.com, qui malheureusement n'a pas de corrigé. En voici l'énoncé :

"On considère une fonction f définie et décroissante sur R. On sait de plus que la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est égale à 1.

Quelle conjecture peut-on faire sur f ? Démontrer cette conjecture."

Sachant que les exercices portent sur les limites, la seule conjecture que je suis arrivé à faire est que la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est strictement supérieure à 1, mais aucune démonstration.

Merci d'avance !

#2 29-09-2020 05:36:32

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Conjecture sur une fonction f à partir d'une limite

Bonjour,

  Ta conjecture contredit l'énoncé qui dit : "On sait de plus que la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est égale à 1." et toi tu dis "La limite est strictement supérieure à 1".

Si je fais un dessin, la conjecture qui me vient à l'esprit est plutôt que $f(x)\geq 1$ pour tout $x\in\mathbb R$.

F.

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#3 29-09-2020 09:06:22

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Conjecture sur une fonction f à partir d'une limite

Bonjour,

Effectivement, c'est la conjecture qui vient à l'esprit, comme l'a mentionné Fred.
Pour la prouver on peut par exemple raisonner par l'absurde.
Supposons : [tex] \exists \, \alpha \in \mathbb{R} \, \, f(\alpha) < a [/tex].
f étant décroissante on a [tex] x \gt \alpha  \Rightarrow f(x) \leq  f(\alpha) [/tex].
Ainsi pour x suffisamment grand , l'écart entre la limite a et f(x) est minoré par [tex] a - f(\alpha)  \ne 0[/tex]
Donc ( ce qu'on peut écrire avec des quantificateurs, bon exercice ) il est impossible que l'écart lorsque
x est assez grand  entre a et f(x) soit majoré par tout nombre positif donné à l'avance.
Contradictoire avec  la propriété de la limite a.
Donc ...

On retrouve des résultats analogues concernant les suites, suites adjacentes, etc.

Cordialement,
Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#4 29-09-2020 09:23:16

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Conjecture sur une fonction f à partir d'une limite

Bonjour,

a étant égal à 1 dans ton exercice, mais c'est vrai quelle que soit la limite (finie) en [tex] +\infty[/tex] bien-sûr.
On peut voir la chose aussi comme un passage à la limite dans une inégalité, à savoir:

[tex] \forall x , y \in \mathbb{R} \:  x \lt  y  \Rightarrow f(x) \geq f(y)  \: devient \, en \, quelque \, sorte f(x) \geq a  [/tex]
comme si on faisait formellement [tex] y = +\infty \: et \:  f( y ) = a[/tex]
On a aussi avec cette idée des résultats très forts sur les suites.

Alain


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