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#1 10-09-2007 13:51:05

Opacertiam
Invité

Polynomes interpolateurs de Lagrange en 3D ? [Résolu]

Bonjour,

ma question est contenue dans le titre, à savoir est ce que les polynomes interpolateurs de Lagrange existent pour les cas 3D ou plus?

J'explique mieux ma demande : je dispose de données de type :

x y z t Val

où : x, y, z représentent les coordonnées du point
       t le temps
       Val la valeur au point de coordonnées (x,y,z) au temps t.

Peut on construire un polynome P tel que P(x,y,z,t) = Val pour tout point et tout temps?

Merci d'avance

#2 10-09-2007 15:38:43

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Polynomes interpolateurs de Lagrange en 3D ? [Résolu]

Bonjour,

  Oui, et la construction peut se faire par récurrence.
Je t'explique pour la dimension 2. Tu regroupes d'abord les
points pour lesquels l'abscisse est identique.
Tu obtiens des groupes G1,..,Gp de points,
les points du groupe Gi ayant tous pour abscisse xi.

Soit Li le polynome Li(x)=(x-x1)...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-xn)/(xi-x1)...(xi-x_{i-1})(xi-x_{i+1})...(xi-xn)

Le polynome Li vaut 1 si x=xi, 0 si x=xj avec j distinct de i.

Pour chaque i, on a dans Gi des points du type (x1,y1),...,(xi,yq).
Soit Qi le polynôme (de Lagrange en la variable y) tel que Q(yk)=Val_k où Val est la valeur que tu souhaites.
Alors P = Q1 L1+...+QpLp donne la réponse au problème.

Fred.

NB. On peut en fait donner aussi directement une formule en deux variables
comme je l'ai faite pour les Li.

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