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#1 08-09-2007 12:57:52

cléopatre
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MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Bonjour à tous !!! Cela en fait du temps que je ne suis plus passé... J'ai fait un long voyage de 1 mois et demi et après j'ai eut la rentrée des classes. Je n'ai donc pas eut le temps de venir vous parler et de tenter de résoudre les énigmes mathématiques.

Je poste ce message parce que j'iamerais avoir de l'aide sur un exos.

Voici l'équation à résoudre :
RACINE(cos(x)) + RACINE( sin(x)) = 1

J'ai pensé à mettre tout cela au carré...ce qui me donne cos + 2 cos * sin + sin =1

Je sais que x=0 convient mais je n'arrive pas a avancer...

Allez merci de me répondre et à très vite...

Bisous de Cléo ;)


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#2 08-09-2007 15:31:28

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Bonjour Cléo,

Ca faisait une paie ! Nous nous languissions de tes posts rafraîchissants...
Bon, j'ai qq ch pour toi, mais encore une fois, c'est"bestialement" calculatoire... Si qq a mieux, je suis preneur aussi !
Allons-y...
[tex](sqrt{cos(x)}+sqrt{sin(x)})^2 = cos(x) + sin(x) + 2sqrt{sin(x)*cos(x)}=1[/tex]

J'isole la racine d'un côté et je réélève au carré :
[tex]4sin(x)*cos(x)=[1-cos(x)-sin(x)]^2[/tex]

Je développe :
[tex]4sin(x)*cos(x)= 1+cos^2(x)+sin^2(x)-2cos(x)-2sin(x)-2sin(x)*cos(x)[/tex]

Soit encore :
[tex]6sin(x)*cos(x) = 2 - 2cos(x)-2 sin(x)[/tex]

Et enfin :
[tex]3sin(x)*cos(x) = 1- cos(x) - sin(x)[/tex]

Et maintenant ? Maintenant, ce que je vais faire ne me plaît pas beaucoup, mais je ressors le formulaire de trigonométrie qui m'a servi hier. Je note t = tan(x/2) et j'obtiens :
[tex]3\times \frac{2t}{1+t^2} \times \frac{1-t^2}{1+t^2}=1 -\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2}[/tex]
Le dénominateur n'étant jamais nul je multltiplie les deux membres, puis je bidouille le tout :
[tex]\frac{6t(1-t^2)}{1+t^2} =1+t^2 -(1-t^2)-2t[/tex]
[tex]\frac{6t(1-t^2)}{1+t^2}=1+t^2 -1+t^2-2t[/tex]
[tex]\frac{6t(1-t^2)}{1+t^2}=1+t^2 -1+t^2-2t[/tex]
[tex]\frac{6t(1-t^2)}{1+t^2}=2t^2 -2t[/tex]
[tex]\frac{3t(1-t^2)}{1+t^2}=t(t-1)[/tex]

D'ores et déjà, on a une solution : t = 0 correspondant à x = 0...
Je repars avec t différent de zéro, je simplifie part, je multiplie les 2 membres par 1+t², je mets tout dans le même membre et factorise :
[tex]3(1-t^2)- (t-1)(1+t^2)= 0[/tex]
[tex]3(1-t)(1+t)- (t-1)(1+t^2)= 0[/tex]

Maintenant je te laisse poursuivre...

@+
Je vois que (1 - t) sera facteur commun, qu'une solution sera t = 1, soit [tex]{x \over 2}={\pi \over 4}\; (mod \pi)[/tex]


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#3 08-09-2007 22:02:02

cléopatre
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Yoshi , je pense que ta méthode est celle attendu car on devait apprendre justement ces formules avec t=tan(a/2). Je vais écrire tout ça sur feuille et je posterai un mesage après (ce soir ou demain).


Dans ton calcul, tu as mis :
[tex]4sin(x)*cos(x)= 1+cos^2(x)+sin^2(x)-2cos(x)-2sin(x)-2sin(x)*cos(x)[/tex]

Cependant, n'as tu pas fais d'erreur , ce n'est pas plutot cela ? :
[tex]4sin(x)*cos(x)= 1+cos^2(x)+sin^2(x)-2cos(x)-2sin(x)+2sin(x)*cos(x)[/tex]... Je pense que sa irait mieux car au lieu de se ballader avec des 6 et 3, on arait des 2 et 1...:)

Bisous et à très vite.

Dernière modification par cléopatre (08-09-2007 22:10:37)


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#4 08-09-2007 22:46:30

cléopatre
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Voilà, j'ai tout fini... Mise à part cette petite erreur sur le signe qui ne change pas les solutions tu as fait le bon choix en faisant appelle au formule et je t'en remercie...

Dans le même genre sans pour autant faire un nouveau message, j'ai 3*cos(x)+4*sin(x) = 2

J'ai remplacé par les même formules ce qui m'a donné sauf erreur de calcul :
t1= (4-RACINE(21))/5 et t2= (4+RACINE(21))/5

A partir de la j'ai donc tan(x/2) =(4  - ou +  RACINE(21))/5

Comment faire pour continuer le calcul ?

Merci Yoshi pour ton aide ...


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#5 09-09-2007 08:08:59

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Bonjour Cleo,

Exact ! Je me confonds en excuses... J'ai hélas commis une faute de signe.
Je m'étais posé la question au moment de la rédaction puis j'ai fait ça " à l'oeil" au lieu de faire comme d'hab.
Si j'avais simplement écrit :
[tex](a-b-c)^2=[a-(b+c)]^2 = a^2-2a(b+c)+(b+c)^2[/tex] sans aller plus loin, cette faute aurait été évitée.
Bon, je savais que le résultat était juste car il n'y avait que "2" solutions, 0 et [tex]{\pi \over 2}[/tex]  et ceci à [tex]2k\pi[/tex]près...
J'avais testé la formule avec un grapheur, qui m'avait donné des espèces de demi-cercles (à l'oeil) tous les [tex]2\pi[/tex]..

Quant à ta 2e question, j'avoue être bien incapable de donner une écriture littérale exacte (avec [tex]\pi[/tex]) de x, à part :
[tex]x = 2Atan\left(\frac{4\pm sqrt {21}}{5}\right)[/tex]
Donc à part utiliser la fonction "Arc Tangente" de ta calculette (qui donnera une valeur approchée) je ne vois pas bien comment obtenir une réponse.
Je n'ai pas encore testé ton calcul, mais je vais le faire.
Tu devrais aller lire ma réponse au post "inégalité arithmético-géométrique par tomktheboss où j'ai utilisé aussi ces formules, lequel tomktheboss est aussi en Prépa MSI... Marrant, non ?

[EDIT]
Tes calculs sont  exacts.

@+

PS
Autre chose. Le dernier trimestre 2006-2007, tu avais dit vouloir t'intéresser à un langage de programmation.
Je t'avais alors aiguillée sur Python. Depuis j'ai travaillé dessus.
Donc, si ça t'intéresse toujours, j'ai écrit quelques pages sur les constructions de "carrés magiques" et notamment un certain modèle de dimension 2(2n+1) : http://www.bibmath.net/carres/impapairs.php3.
En bas de page, j'ai mis un lien (toujours sur Bibmath) vers le code source du programme de calcul que j'ai écrit en Python. Tu peux aller jeter un oeil si ça t'intéresse toujours, mais il faut avoir lu d'abord la page consacrée à la "construction" manuelle pour comprendre quelque chose.


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#6 09-09-2007 13:33:09

cléopatre
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Bonjour Yoshi,

Tu as fait un boulot fantastique... Je t'en félicite. Je le regarderai pendant les vacances de la toussaint car j'aurais beaucoup plus de temps. Je préfère bien le faire mais en le survolant, je t'en félicite et merci de te rappeler de mon interet à la programmation.

Pour le problème, il me semblait ben que le résultat peut être trouver que approximativement.

Par contre, pour cette équation, en utilisant les formules on arrive a des calculs énormes !!!

[tex]sin(x) + cos (x) - (\frac{sin(2x)}{sqrt {2}+1}) = cos({\pi \over 4}-x)[/tex]

ou encore après calculs : [tex](\frac{sqrt {2}}{2})(sin(x) + cos (x)) - 2 cos(x) sin(x) = 0[/tex]

Voilà j'espère que mes calculs ont servi à quelquechose pour résoudre cette équation...

Bisous de Cléo

Dernière modification par cléopatre (09-09-2007 13:33:41)


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#7 09-09-2007 14:21:42

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Salut,


Tu me poses un problème...
[tex]sin(x) + cos (x) - \left(\frac{sin(2x)}{sqrt {2}+1}\right) = cos({\pi \over 4}-x)[/tex]

D'où :
[tex]sin(x) + cos (x) - (sqrt 2- 1)sin(2x)= {sqrt2 \over 2}(cos(x)+sin(x))[/tex]

Et encore :
[tex]({sqrt 2 \over 2} - 1) sin(x) + ({sqrt 2 \over 2} - 1)cos (x) + (sqrt 2- 1)sin(2x)= 0[/tex]

Et enfin :
[tex](sqrt 2-2) sin(x) + (sqrt 2-2) cos (x) + 2 (sqrt 2- 1)sin(2x)= 0[/tex]

Ce qui n'est pas la même chose...
J'ai beau refaire mes calculs, je retombe sur mon résultat... Lequel de nous deux a tort ?

Bon, je vais continuer mes calculs, et voir où ça me mène...

@+

[EDIT]
Je peux encore simplifier l'écriture en divisant mes 2 membres par [tex]sqrt 2 -2[/tex]

[tex]sin(x) + cos (x) + \frac {2 (sqrt 2- 1)}{sqrt 2 - 2}sin(2x)= 0[/tex]

Et enfin :
[tex]sin(x) + cos (x) + \frac {2 (sqrt 2- 1)}{sqrt 2-2}sin(2x)= 0[/tex]
[tex]sin(x) + cos (x) -sqrt 2 sin(2x)= 0[/tex]

Pour que ça ressemble à ce que tu as écris, je remultiplie ma ligne par [tex]{sqrt 2 \over 2}[/tex]

Et je tombe sur :
[tex]{sqrt 2 \over 2}(sin(x) + cos(x)) - 2sin(x)cos(x) = 0[/tex]


Donc, non, pas de lézard, on est bien d'accord...
Place à la suite !!!


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#8 09-09-2007 14:53:37

cléopatre
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Voilà, mais pour continuer je suis vraiment bloqué...Je ne sais comment trouver la ou les solutions.

C'est déjà une bonne chose que l'on retombe surnos pieds.
Bisous de Cléo

Dernière modification par cléopatre (09-09-2007 14:55:22)


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#9 09-09-2007 16:23:59

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Salut,

Hélas 3 fois hélas, je tombe sur une $à%!^#& d'équation du 4e degré... Et chuis pas foutu de la résoudre...
Mon grapheur me donne 3 solutions, dont une où la courbe est tangente à l'axe des x.. pas très loin de [tex]{\pi \over 4}[/tex]...
Je vois pas de solution évidente, alors j'essaie d'en deviner une pour factoriser après....

Soit ton prof attend des valeurs approchées, soit ce n'est pas la bonne méthode...

@+

[EDIT]
Trouves-tu aussi :
[tex]t^4-(2+4sqrt 2)t^3-(2-4sqrt 2)t-1 = 0[/tex]


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#10 09-09-2007 17:03:29

cléopatre
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

OK je te dis la réponse la semaine prochaine. Je te remercie pour ton aide précieuse et surtout à très bientot ;)


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#11 09-09-2007 17:43:25

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Bonsoir,

Je ne lâche pas le morceau..
Une solution pour x est effectivement [tex]{\pi \over 4}[/tex]...
Ca me donne pour t : [tex]t = tan({\pi \over 8}) = sqrt 2-1[/tex]
Maintenant, il faut que je factorise mon équation...
Y a plus qu'à... !

@+


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#12 09-09-2007 17:46:18

cléopatre
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

ok je vais essaye même si je suis dans le flou mais ce serait un manque de respect de te laisser faire ...


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#13 09-09-2007 18:50:41

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Re,

Apparemment, mon équation du 4e degré est juste...
1ere factorisation :
[tex]t^4-(2+4\sqrt 2)t^3-(2-4\sqrt 2)t-1 = (t-(\sqrt 2 - 1)(t^3 -3(\sqrt 2 +1)t^2-3t\sqrt 2 +1[/tex]
T'es pas obligée de t'acharner... Moi, ça fait partie de mon tempérament.
Maintenant va falloir factoriser le polynôme du 3e degré...
Qu'est-ce qui est flou ? La valeur exacte de t que j'ai donnée ?

@+


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#14 09-09-2007 20:45:39

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

B'soir,

Plutôt que des [EDIT]; je reposte...
Donc, en v'la encore un morceau :
[tex]t^4-(2+4\sqrt 2)t^3-(2-4\sqrt 2)t-1 = \left(t-(sqrt 2 - 1)\right)^2(t^2-(2\sqrt 2+4)t -3-2\sqrt 2)[/tex]

Le polynôme du second degré a 2 solutions qui sont :
[tex]t_1=\sqrt 2 +\sqrt 3 + \sqrt 6 + 2\;\text{et}\;t_2 = \sqrt 2 - \sqrt 3 - \sqrt 6 +2[/tex]
Mais alors, trouver les valeurs exactes de x...
Réflexion faite, d'après les résultats donnés par la calculette, ça pourrait bien être :
[tex]\frac{11\pi}{12}\;\text{et}\;{-}\frac{5\pi}{12}[/tex]

Mais, ce soir, je n'ai plus le courage de vérifier...

@+


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#15 09-09-2007 21:05:40

Fred
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Salut,

  J'interviens, car normalement, "ce n'est pas comme cela que l'on fait" pour résoudre ce type d'équations.
Pour la résoudre, il faut penser à "Comment je mets un complexe sous forme trigo" car
en fait c'est de cela qu'il s'agit.
Bref, on met sqrt(3^2+4^2)=5 en facteur. L'équation devient

3/5 cos(x)+4/5 sin(x)=2/5.

Après, on pose a tel que cos(a)=3/5 et sin(a)=4/5
(on sait qu'un tel a existe car (3/5)^2+(4/5)^2=1).
Il vient cos(x-a)=cos(b) avec b tel que cos(b)=2/5.
D'où x en fonction de a et b.
Je n'ai plus le temps de réfléchir pour savoir comment trouver a et b!

Fred.

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#16 10-09-2007 09:29:27

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Bonjour,

Merci Fred pour ton intervention, elle était attendue... Je vais y revenir.

1. Mais tout d'abord, comme j'ai horreur de laisser les choses en suspens quand je peux faire autrement, je complète mon dernier post d'hier soir.
Ce matin, j'ai calculé sin(5pi/6) et cos(5pi/6) pour en déduire la valeur exacte de la tangente.
Ceci fait, j'ai calculé la valeur exacte de tan(5pi/12), puis de tan(-5pi/12) et j'ai bien trouvé :
[tex]\sqrt 2 -\sqrt 3 - \sqrt 6 +2[/tex]
Donc ma supposition d'hier soir était exacte

2. D'accord Fred, mais je ne vois pas où tu démarres dans l'exercice, je ne trouve pas :
[tex]3 cos(x) + 4sin(x) =2[/tex],
à moins que ce ne soit un exemple ? Et que l'on parte de :
[tex]sin(x) + cos (x) - (sqrt 2 - 1) sin(2x) = cos({\pi \over 4}-x)[/tex]
pour arriver à quelque chose du genre :
[tex]cos(a) = cos({\pi \over 4}-x)[/tex]
nettement plus agréable à résoudre ?

Je vais y réfléchir...

@+


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#17 10-09-2007 10:39:04

yoshi
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Re,

Je me réponds à moi-même... J'ai trouvé la piste.
Je remplace :
[tex]sin(x) + cos (x) - (\sqrt 2 - 1) sin(2x) = cos\left({\pi \over 4}-x\right)[/tex]
par :
[tex]\sqrt 2\left(\frac{\sqrt 2}{2}sin(x) + \frac{\sqrt 2}{2}cos (x)\right) - (\sqrt 2 - 1) sin(2x) = cos\left({\pi \over 4}-x\right)[/tex]
puis par :
[tex]\sqrt 2 cos\left({\pi \over 4}-x\right)- (\sqrt 2 - 1) sin(2x) = cos\left({\pi \over 4}-x\right)[/tex]
Et encore :
[tex]{-}(\sqrt 2 - 1) sin(2x)=cos\left({\pi \over 4}-x\right)-\sqrt 2 cos\left({\pi \over 4}-x\right)[/tex]
Enfin :
[tex](\sqrt 2 - 1) sin(2x)= (\sqrt 2 - 1)cos\left({\pi \over 4}-x\right)[/tex]
Après simplification :
[tex]sin(2x)= cos\left({\pi \over 4}-x\right)[/tex]
Et maintenant, je cherche à quelle(s) condition(s) je peux troquer le sin contre le cos...
[tex]sin(2x) = cos\left({\pi \over 2}-2x\right)[/tex]
[tex]sin(2x) = cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)[/tex]

Fred ? Verdict ? C'est cela que tu suggérais ?

@+


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#18 10-09-2007 10:45:26

Fred
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

yoshi a écrit :

Bonjour,



2. D'accord Fred, mais je ne vois pas où tu démarres dans l'exercice, je ne trouve pas :
[tex]3 cos(x) + 4sin(x) =2[/tex],


@+

Euh, dans un message de Cleopatre, mais comme j'ai tout lu en diagonale,
je me suis peut-être planté!

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#19 15-09-2007 21:20:26

cléopatre
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Bonjour à vous...

Le professeur a raisonné de la manière suivante...

x appartient à [0; pi/2] car la racine carrée d'un nombre négatifs n'existe pas

x n'appartient pas à ]0 ; pi/2 [ car [tex]\sqrt{\cos(x)} + \sqrt{\sin x)} > 1[/tex] car [tex]\sqrt{\cos(x} > \cos^2(x) \text{ et } \sqrt{\sin (x)} > \sin^2(x)[/tex] avec sin²x+cos²x=1

Donc il reste plus que 0 [2pi] et pi/2 [2pi]...

En testant on trouve que sa marche et c'est gagné....


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#20 15-09-2007 21:37:46

Fred
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

C'est tellement plus malin!!!
D'où l'intérêt de réfléchir avant d'agir...

Fred.

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#21 15-09-2007 21:43:25

cléopatre
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Re : MPSI - trigonométrie - équations [Résolu]

Alors cela...tu peux le dire.

Le prof de Maths fait que sa ! C'est un peu gavant quand même car quand tu ne trouves pas, lui il trouve toujours et quand tu trouves, lui il est plus malin. J'espère qu'un jour je serais comme lui mais bon ca risque d'etre difficile.

Au passage je vais ouvrir une discussion sur la transformée de laplace.

Bisous et à toute ;)


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