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#1 26-07-2020 22:02:39

Kate70
Invité

QCM

Slt, qui peut m'aider slv
Quelle est la bonne réponse de cette question
Le reste de la division euclidienne

(5325639)^2017 par 11 est

a) 0
b) 1
c) 9

#2 27-07-2020 06:57:45

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 187

Re : QCM

Bonjour !

On ne va pas faire l'exo à ta place, tu peux nous dire ce que tu as essayé s'il te plaît ? Merci.

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#3 27-07-2020 14:07:37

Kate70
Invité

Re : QCM

Si je savais comment faire cet exercice j'aurais pas demander de l'aide

#4 27-07-2020 14:17:38

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 187

Re : QCM

Entre savoir faire l'exercice et y avoir réfléchi dessus, il y a une bien grande différence. Si tu n'as rien essayé, ce n'est pas la peine de venir demander de l'aide.

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#5 27-07-2020 14:38:41

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 409

Re : QCM

Bonjour,
Je me permets d'intervenir, @Kate70, il y a des questions préliminaires que l'on peut se poser pour résoudre ce genre de problème, et le problème c'est que de notre côté on ne sait pas à quel niveau de réflexion tu es dans l'exercice (donc met ce que tu as déjà fait même si ce n'est pas aboutit du tout), on ne sait pas dans quelle classe tu es, ou si tu as déjà fait ça... Tu peux par exemple, si tu n'as jamais fait ni absolument aucune idée pour faire ça, tu peux le préciser, ce qui est déjà pas mal parce que peut-être que pour toi c'est claire mais pour nous ça peut-être interprété comme : "j'ai la flemme de dire ce que j'ai pu faire" (déjà vu), et de ton côté ça ne prends pas beaucoup de temps et la qualité de l'aide sera d'autant plus meilleur pour toi.

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#6 27-07-2020 14:49:48

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 444

Re : QCM

Bonjour,

Voilà ce qu'on appelle une réponse "facile"...
Malheureusement (ou heureusement), ici c'est "Aide-toi, BibMath t'aidera"...
Voilà la preuve. Extrait de nos Règles de fonctionnement :

* Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...]

Cela dit, nous sommes capables d'empathie envers les jeunes gens en détresse...
Je ne crois pas 1 s  à l'excuse : je n'ai aucune idée de ce qu'il faut faire...
On a toujours une idée, même mauvaise : on a besoin de ça pour démarrer...
Je vais te montrer quelque chose qui je l'espère te donnera une idée de démarrage ...
La division euclidienne d'un nombre a par un nombre b, dont le quotient est q et le reste r (avec r<d) s'écrit :
$a=bq+$$r$  ce n'est pas pour te gêner mais je suis obligé de te dire que ce qui précède, à ton niveau, tu le sais forcément...

Et le reste de la division euclidienne de $a^2$ par b ?
$a^2=(bq+r)^2= b^2q^2+2bqr+r^2=b\times(bq^2+2qr) +$$r^2$

Et celui de $a^3$ par b ?
$a^3=(bq+r)^3= b^3q^3+3b^2q^2r+3bqr^2+r^3=b\times(b^2q^3+3bq^2r+3qr^2) +$$r^3$

Vois-tu comment déjà comment remplacer la question posée par une autre, plus accessible ?

Et bien, non tu ne va pas te payer le développement de $(bq+r)^{2017}$...
Dans ton cours, chapitre congruences, tu devrais trouver quelques raccourcis, parce que là, je réinvente la roue...

Je te laisse avec valoukanga ou Maenwe, qui sauront te conduire pour peu que tu leur donne matière à démarrer...

Comprends bien que si la solution tombe du ciel sans effort, tu auras appris quoi ? ça t'aura avancé à quoi ?

Tiens encore matière à réflexion, application du caractère de divisibilité par 11. Qu'en déduis-tu ? :
5325639
5+2+6+9=22
3+5+3=11
et
22-11=11


@+


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#7 27-07-2020 16:37:41

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 451

Re : QCM

Salut,

c'est un sujet qui relève de l'exponentiation modulaire, très utile en informatique et cryptologie. Donc notre gars n'est pas un débutant en maths.
La technique consiste à utiliser intelligemment les propriétés simples de l'arithmétique modulaire (genre si a est congru à b mod m et c est congru à d mod m, alors ac est congru à bd mod m, et donc ac² est congru à bd² mod m, lui même congru à f mod m ainsi de suite), pptés qui permettent de trouver ce reste par un décomposition astucieuse des étapes de calculs qu'on peut faire avec un petit automate.
Il y a longtemps, j'avais passé pas mal de temps à répondre à ce genre de question posé par un gars fort en crypto, c'est assez amusant à faire, mais il faut être rigoureux.

On fait les calculs pas à pas, en décomposant astucieusement les étapes.
Python (coucou yoshi) fait ça, je crois.

Je n'ai pas encore fait un seul calcul, je vais voir.

PS : je viens de faire trois petits calculs rapides, notre ami est en terminale, spé Maths probablement, et son prof est facétieux. Il a dû expliquer le procédé et il essaie de voir si ses élèves sont malins. Et oui, je pense qu'il ne sait même pas comment commencer le sujet
Un conseil : ne pas chercher midi à 14 heures, mais chercher un petit peu tout de même ! Dans la théorie des nombres, tout commence par la recherche de sa décomposition ;-)
Enjoy !

Dernière modification par freddy (28-07-2020 06:35:20)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#8 27-07-2020 16:52:21

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 227

Re : QCM

Bonjour,

Cela peut se faire facilement ... mais difficile d'en dire plus sans presque tout dire.

En remarquant que 5325639/11 = 484149

5325639^2017 / 11 = 484149 * 5325639^2016

Et c'est quasi fini.

...

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#9 27-07-2020 19:10:36

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 444

Re : QCM

Re,

C'est un QCM et vu le reste de la division euclidienne de 5325639 par 11, ça ne va pas chercher bien loin...
D'autant plus si on utilise le caractère de divisibilité par 11 : c'est immédiat !

@+


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#10 28-07-2020 06:34:04

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 451

Re : QCM

yoshi a écrit :

Re,

C'est un QCM et vu le reste de la division euclidienne de 5325639 par 11, ça ne va pas chercher bien loin...
D'autant plus si on utilise le caractère de divisibilité par 11 : c'est immédiat !

@+

Salut,

Oui, oui, t’avais trouvé et donné la bonne piste mais je n’avais pas lu et j’avais peur qu’on ait à faire à un nombre premier, ce qui arrive souvent dans ce genre de problème, d’où mon développement.
Puis, quand j’ai cherché à vérifier mon hypothèse, vu que le nombre était divisible par 3 et par 11, me suis dit que c’était finalement amusant comme question.
Sur le fond, ça aurait été intéressant qu’on ait un nombre premier car les calculs à faire sont assez intéressants, peut être une prochaine fois !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#11 28-07-2020 08:23:03

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 444

Re : QCM

Salut freddy,

Concernant Python, tu sais qu'il est très à l'aise avec les entiers ...
Essaie :
print (5325639**2017%11)
C'est instantané...

@+


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