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#1 22-07-2020 23:28:57

alae
Membre
Inscription : 19-07-2020
Messages : 50

Question mathématiques

Bonjour
Quelle est la différence entre définition et propriété et théorème ?
Merci pour votre réponse

Hors ligne

#2 23-07-2020 10:30:09

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 451

Re : Question mathématiques

Salut,

je pensais que yoshi ou d'autres allait répondre, je vais essayer d'être simple, car il faudrait construire un exemple et je ne suis pas en état.
Merci de me corriger si nécessaire, il faut être très précis pour notre ami.

Dans toute science, on commence par définir l'objet de l'étude. Par exemple, on définit un triangle comme un polygone à trois côtés. Bien entendu, il faudra définir au préalable ce qu'est un polygone : figure géométrique régulière à plusieurs cotés.

Une propriété est quelque chose qui appartient en propre à l'objet mathématique défini. Par exemple, un triangle a trois angles. Souvent, une propriété nécessite de faire un démonstration, mais ce n'est pas là la partie la plus compliquée de la démarche mathématique.

Un théorème est le résultat qu'il faut prouver : il s'appuie sur des résultats déjà démontrés (ou admis : axiomes) et en établit un nouveau, à partir de l'objet mathématique qu'on observe.
Contrairement à une propriété, il ne saute pas immédiatement au yeux, il y a donc parfois un long travail à faire pour le prouver. L'intérêt est que le résultat est très puissant et permet de passer ensuite à d'autres résultats : ça fait partie de la démarche mathématique qui construit des briques solides pour bâtir une fondation.

L'avantage est qu'une fois établi, nul besoin de le redémontrer, il suffit de vérifier que les conditions d'applications sont remplies (quand on veut utiliser un théorème, il est important de s'assurer que les conditions d'utilisation du théorème sont vérifiées, sinon, on peut arriver à dire des bêtises) pour convoquer le théorème et utilisé le résultat.

Par exemple, prendre la notion de triangle rectangle. On dit ce que c'est (un angle droit à un sommet) puis on construit un théorème qui permet de caractériser à coup sûr si on a un triangle rectangle ou pas (comme par exemple $c^2=a^2+b^2$)

Autre exemple : il y a un théorème qui énonce que la somme des trois angles d'un triangle est égale à l'angle plat. Une fois ce résultat acquis, nul besoin de le redémontrer, on s'appuie dessus pour enchaîner sur d'autres résultats.

Dernière modification par freddy (23-07-2020 10:32:45)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 23-07-2020 11:50:57

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 409

Re : Question mathématiques

Bonjour,
Je crois que Bourbaki (un groupe de mathématicien de XXème siècle) à codifié tout cela, mais je ne sais pas dans quel ouvrage trouver tout ça...
Quoi qu'il en soit, en dehors de ça, fondamentalement parlant (c'est à dire au niveau de la logique en tant que domaine des mathématiques), il n'y a pas de différence entre propriété et théorème, ce sont juste des affirmations (que l'on appelle en fait formule dans le langage de la logique) que l'on peut prouver : voir Théorème - Wikipédia.

Maintenant, ça c'était la façon dont les logiciens définissent un théorème (tous les mathématicien ne sont pas des logiciens ! Ce sont les mathématicien qui travaille dans la branche des mathématiques qui s'appelle la logique et qui s'attelle à l'étude des démonstrations (de manière générale et abstraite, une question que l'on peut se poser en tant que logicien c'est : comment définir ce qu'est une démonstration ? (cette définition existe )), des différents façon que l'on peut construire la mathématique, etc.).

Dans la pratique la différence entre théorème et propriété est floue. Un théorème est un résultat que l'on considère comme étant "fort" c'est à dire qui permet d'établir des liens pas évident entre deux affirmations ou domaines des mathématiques, ou alors pas un résultat pas facile à démontrer. De manière un peu plus générale, ce que l'on considère comme étant un théorème c'est quelque chose que l'on considère comme fondamentale dans la théorie que l'on étudie ou qui met en lumière quelque chose de fondamentale comme par exemple l'existence d'un objet mathématique.
Je n'ai pas d'exemple en tête mais ça ne m'étonnerai pas qu'un résultat établit passe du statut de propriété à celui de théorème en s’apercevant de son importance. En revanche j'ai déjà vu un théorème passer au stade de propriété en changeant d'année (tu ne verras peut-être pas ça au Lycée mais dans le supérieur c'est possible). Ceci s'explique que de nouvelles théories, dans lesquelles le théorème peut y être exprimé et démontré, mettant en lumière des théorèmes encore plus importants et dont le théorème considéré au départ n'est plus qu'une conséquence :

Le théorème de Pythagore devient très simple à montrer une fois que l'on a mis en place la notion d'espace vectoriel et de produits scalaire (après bien sûr avoir démontré quelque résultats). Et dans ce cadre certains le considère comme propriété.

Une propriété est du coup quelque chose que l'on considère de moindre importance qu'un théorème.

Une définition en revanche est plutôt claire, est quelque chose qui donne un nom à quelque chose. En mathématiques c'est très utile pour aller plus vite et se faire comprendre, ça devient flagrant dans les théorie un peu plus abstraite, la façon dont l'on appelle un objet permettra 'si le nom est bien choisit) de ce faire un début d'intuition sur la théorie), ça , par exemple l'appellation "triangle" ça te renvoi à un ensemble de trois points distincts, ça évite de dire "ensemble de trois points distincts" pour parler d'un objet géométrique très commun.

Dernière modification par Maenwe (23-07-2020 11:52:07)

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#4 23-07-2020 13:34:34

alae
Membre
Inscription : 19-07-2020
Messages : 50

Re : Question mathématiques

Merci infiniment pour votre explication maintenant j'ai compris la différence

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