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#1 02-07-2020 20:43:45
- Yunvln
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Equation Differentielle
Bonjour,
j'ai actuellement un soucis pour résoudre un exercice qui pour moi me parait compliqué malgré nombre recherche sur le sujet.
La question qui m'est posé est la suivante :
On considère l’équation différentielle suivante:
(A) x'(t) = 4x(t)(x(t) - 1) :
On cherche les fonctions solutions de (A) qui ne s’annulent
pas. Pour cela, on pose
y (t) =1/(x(t))
(1) Démontrer que y est solution d’une équation différentielle
(B) du premier ordre à coefficients constants, que l’on
déterminera.
(2) Résoudre l’équation (B).
(3) Déterminer la solution x de (A) vérifiant x (0) = 1/2 .
Je ne cherche évidemment pas a avoir une réponse toute faite a ce problème, mais de quoi pouvoir le comprendre et le faire, j'ai beaucoup d'autre exercice sur les équation différentielle mais rien de semblable c'est pour cela que je viens vers vous.
Merci d'avance.
Cordialement.
Dernière modification par Yunvln (02-07-2020 22:38:59)
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#2 02-07-2020 21:12:05
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Bonjour !
À quelle question tu bloques, et qu'as-tu essayé ?
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#3 02-07-2020 21:20:25
- Yunvln
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Re : Equation Differentielle
Merci beaucoup de cette réponse aussi rapide !
Je bloque dès la première question, je ne comprend pas comment on peur trouver une équation différentielle a partir de sa solution, sachant que celle-ci est composer de la primitive de (A), je ne vois pas par ou prendre le calcul, j'ai justement essayer de dérivée cette réponse, mais ça ne m'aide pas particulièrement, aucun des exercices que j'ai pus voir tournait la question de cette façon et mes cours ne m'aide absolument pas
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#4 02-07-2020 21:37:24
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Tu peux essayer de dériver $y$ pour trouver une relation entre $y'$ et $y$. Utiliser le fait que $x' = 4x(x-1)$ t'aidera sûrement. Essaies d'avancer et reviens si tu bloques toujours à cette question !
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#6 02-07-2020 22:09:41
- Yunvln
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Re : Equation Differentielle
J'ai donc essayer de dérivée y, j'obtiens donc -1/x² si je ne me trompe pas, la seule relation que j'ai pus observer entre y et y' est que la dérivée de y est y multiplié par -y.
J'ai aussi développé x' = 4x(x-1), ce qui me donne 4x² - 4x, j'ai dérivé et fait la primitive de celle-ci, cependant je ne vois vraiment pas comment avec ceci je peux obtenir l'équation différentielle (B)
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#7 02-07-2020 22:14:08
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Attention !
Pour tout $t \in \mathbb R$, $\displaystyle y'(t) = \frac{-x'(t)}{x(t)^2}$ ! Tu vois donc $x'$ qui apparaît, tu peux donc utiliser la relation (A)
Dernière modification par valoukanga (02-07-2020 22:14:20)
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#8 02-07-2020 22:26:10
- Yunvln
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Re : Equation Differentielle
Merci, je comprend mieux pourquoi je ne voyais aucun rapport entre la relation y et l'équation différentielle (A), j'ai donc remplacé x'(t) par celle-ci, j'obtiens alors ma relation (B) qui est -4-(4/x(t)) et ensuite je la résout comme une équation différentielle d'ordre 1 simplement si je ne me trompe pas ?
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#10 02-07-2020 22:40:59
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Tu obtiens une relation (B) pas très claire, je vais donc t'aiguiller un peu plus pour être sûr que tu as tout bon. On a :
$$y'(t) = \frac{-x'(t)}{x^2(t)} = \frac{-4x(t)(x(t)-1)}{x^2(t)} = \frac{4-4x(t)}{x(t)}$$.
Tu dois trouver une équation différentielle du type $y'+ay = b$, avec $(a,b) \in \mathbb R^2$. Sachant que $\displaystyle y'(t) = \frac{4-4x(t)}{x(t)}$ et $\displaystyle y(t) = \frac 1{x(t)}$, tu devrais pouvoir trouver le $a$ et le $b$ qui conviennent.
Dernière modification par valoukanga (02-07-2020 22:45:32)
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#12 02-07-2020 22:49:43
- Yunvln
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Re : Equation Differentielle
Merci beaucoup, cela m'aide énormément !
Pour a j'obtient donc sans simplification : -(((((4-4x(t))/(x(t)))/1)/x(t))
Désoler pour cette écriture qui n'est pas très lisible je ne sais pas me servir du Code Latex
Dernière modification par Yunvln (02-07-2020 22:52:25)
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#13 02-07-2020 22:56:31
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Alors c'est pas du tout lisible, et il te reste des $x(t)$, ce que tu ne dois pas avoir, car $a$ est un réel, et non une fonction (vu qu'on te demande une équation différentielle à coefficients constants).
L'idée est donc de faire disparaître les $x(t)$. Par exemple, en regardant $\displaystyle y'(t) = \frac{4-4x(t)}{x(t)}$, je vois que le 4 tout seul au numérateur m'embête (dans l'optique de faire disparaître les $x(t)$), puisque s'il n'était pas là, je pourrais simplifier par $x(t)$ et le tour est joué. Il faudrait donc ajouter un multiple de $\displaystyle y(t) = \frac 1{x(t)}$ afin de faire disparaître ce 4...
Est-ce que tu vois ? Sinon, j'ai plus d'indice, ça sera la solution après !
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#14 02-07-2020 23:06:50
- Yunvln
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Re : Equation Differentielle
Oui autant pour moi !
Alors j'ai essayer de faire disparaitre au maximum les x(t) j'ai donc développé (4-4x(t))/x(t) en 4/x(t) - 4x(t)/x(t), j'obtiens donc 4/x(t) -4, je suppose que il faut remplacer a par -4 afin de supprimer le 4/x(t) qu'il me reste cependant il me reste a la fin -4 = 0, j'ai surement du faire une erreur quelque part
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#15 02-07-2020 23:09:54
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Tu as saisi ce que je voulais dire, c'est l'essentiel. Voilà ce qu'il faut :
$$y'(t) - 4y(t) = \frac{4-4x(t)}{x(t)} - \frac{4}{x(t)} = \frac{4-4-4x(t)}{x(t)} = \frac{-4x(t)}{x(t)} = -4.$$
On a donc montré que $y$ est solution de l'équation différentielle $y'-4y = -4$, qui est bien linéaire du premier ordre à coefficients constants.
Dernière modification par valoukanga (02-07-2020 23:10:16)
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#16 02-07-2020 23:16:57
- Yunvln
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Re : Equation Differentielle
Merci beaucoup pour cette aide ! Oui je ne comprenais pas pourquoi il me restais ce -4, mais je comprend mieux !
Pour la 3eme question si j'ai bien compris, j'ai simplement a prendre la primitive de x', a remplacer t par 0 et de trouver pour quelle valeur faut il que je remplace x pour trouver 1/2 ?
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#17 02-07-2020 23:21:58
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
À la question 2, tu vas trouver toutes les fonctions $y$ qui vérifient l'équation (B). Comme $\displaystyle y(t) = \frac 1{x(t)}$, on a $\displaystyle x(t) = \frac 1{y(t)}$. Tu en déduiras donc toutes les fonctions $x$ qui vérifient l'équation différentielle (A).
Tu n'auras plus qu'à calculer $x(0)$ et à faire en sorte que $\displaystyle x(0) = \frac12$.
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#19 02-07-2020 23:39:58
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Non non non, l'équation (B) est celle que j'ai marqué au dessus : $y' -4y = -4$. Toute simple à résoudre je te laisse le faire en détail.
Lorsque tu auras fait la résolution, tu devrais trouver que l'ensemble des solutions de (B) est : $\{y_\lambda : t \mapsto \lambda e^{4t}+1/ \lambda \in \mathbb R\}$.
Ainsi, si j'ai une fonction solution $y_\lambda$ de (B), je peux en déduire une solution $x_\lambda$ de (A), en utilisant le fait que $\displaystyle y(t) = \frac 1{x(t)} \Leftrightarrow x(t) = \frac 1{y(t)}$.
Est-ce plus clair ?
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#21 03-07-2020 09:02:36
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Comme tu as la relation $\displaystyle x(t) = \frac 1{y(t)}$, on a que si $y_\lambda$ est une solution de (B), alors $\displaystyle x_\lambda = \frac 1{y_\lambda(t)}$ est une solution de (A).
Ainsi, pour tout $\lambda \in \mathbb R$, la fonction $\displaystyle x_\lambda : t \mapsto \frac 1{\lambda e^{4t}+1}$ est solution de l'équation différentielle (A).
Tu peux donc en déduire l'ensemble des solutions de ton équation différentielle (A).
Dernière modification par valoukanga (03-07-2020 09:02:50)
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#22 03-07-2020 14:37:11
- Yunvln
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Re : Equation Differentielle
Donc pour en déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (A), j'ai crée la courbe sur une calculatrice graphique mais je ne vois n'y limite, ni condition pour en déduire un ensemble de solutions, faut-il que je le fasse a la main ?
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#23 03-07-2020 17:04:38
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Je t'ai dit dans mon message précédent que pour tout $\lambda \in \mathbb R$, $\displaystyle x_\lambda : t \mapsto \frac 1{\lambda e^{4t}+1}$ était solution de (A). On sait que ce sont les seules par la résolution qu'on a fait au-dessus.
Ainsi, l'ensemble des solutions de (A) est : $$\mathcal S = \left\{ x_\lambda : t \mapsto \frac 1{\lambda e^{4t}+1}, \lambda \in \mathbb R\right\}.$$
Tu comprends ?
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#25 03-07-2020 17:56:27
- valoukanga
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Re : Equation Differentielle
Oui plus que la 3ème question, tu devrais y arriver sans problème !
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