Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Laulau

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Symétrie

Bonjour !

Je suis nouvelle sur ce forum et j'ai un peu "honte" de demander cela mais je n'arrive pas à montrer une démonstration qui me paraît simple sur un schéma mais que je n'arrive pas à bien rédiger.
Je vous explique ce que je veux démontrr :
J'ai un cercle C (rayon positif), un plan affine euclidien et je pose S les symétries centrales du plan avec le centre qui appartient au cercle.
J'aimerai montrer que pour n'importe quelle translation du plan c'est la composé d'un nombre pair d'éléments de S.

J'ai réussi à montrer que la composée de 2 symétries est une translation.
Je sais de plus d'après une propriété que la composé de deux traslation est une translation

Mais peut-on dès lors affirmer qu'une translation est une composée de deux symétries ?
Parce si on peut l'affirmer, deux est pair donc une translation est composé d'un nombre pai d'éléents de S

De plus, je ne vois pas en quoi le cercle nous sert ici ... je voi bien que les centres de S doivent être sur ce cercle de périmètre [tex]2\pi r[/tex] mai je n'arrive pas à l'incorporer dans ma démonstration.

Je remercie d'avance toutes aides
Cordialement

Fred

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Re : Symétrie

Bonjour,

  Oui, une translation est bien la composée de deux symétries centrales.
Pour t'aider, je te propose de partir de l'autre sens. Tu as démontré que la composée de la symétrie de centre A et de la symétrie de centre B et la translation de quel vecteur???
Il suffit ensuite de partir d'un vecteur, et de trouver deux points tels que la composée des deux symétries donne la translation de ce vecteur, et je pense que la première question devrait t'aider.

Pour la fin de ton exercice, le centre des symétries doit appartenir au cercle ou au disque?

F.

Laulau

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Re : Symétrie

Rebonjour,

J'ai fait un schéma pour que ce soit plus simple à expliquer. https://ibb.co/N7k0YN3
J'ai montré que la composée de la symétrie de centre A et de la symétrie de centre B est la translation du vecteur [tex]\vec{A'B'}[/tex]

Si je prends un autre vecteur par exemple le vecteur [tex]\vec{v}[/tex]
Il faut que je place D' et E' pour que :
[tex]\vec{D'E'}=\vec{D'I'}+\vec{I'E'}[/tex]

Le centre de symétrie appartient au cercle

Dernière modification par Laulau (12-05-2020 16:55:10)

Laulau

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Re : Symétrie

En fait j'arrive à dessiner pour montrer qu'une translation du plan est la compose de 2 symétries mais je n'arrive pas à l'écire mathématiquement n fait sans utiliser mes points du dessin

Fred

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Re : Symétrie

Bonjour,

  Je suis un peu perdu par ton dessin. Je ne vois pas comment tu construis le point I connaissant les points A et B.
Moi, je m'y suis pris avec des coordonnées : c'est assez facile de calculer les coordonnées de l'image du point $M(x,y)$ par la symétrie centrale de centre $A(x_A,y_A)$, puis de répéter l'opération avec la symétrie de centre $B$.
Sauf erreur de ma part, j'ai trouvé que la composée était la symétrie de vecteur $2\overrightarrow{AB}$.
Donc, si tu as une translation de vecteur $\vec u$, c'est assez facile de construire deux points $A$ et $B$ de sorte que $2\overrightarrow{AB}=\vec u$.

F.

Laulau

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Re : Symétrie

Bonsoir,

D'accord si je calule les coordonnées de l'image du point M(x,y) par la symétrie de centre [tex]A(x_A,y_A)[/tex]
Par exemple l'image du point M(x,y) je l'appelle M'(x',y')

donc [tex]x'=2x_A-x=2x_B-x[/tex]
[tex]y'=2y_A-y=2y_B-y[/tex]

Donc je retrouve bien comme vous que la composée était la symétrie de vecteur [tex]2\vec{AB}[/tex]

"Donc, si tu as une translation de vecteur [tex]\vec{u},[/tex] c'est assez facile de construire deux points A et B de sorte que [tex]2\vec{AB}=\vec{u}[/tex]"

Je suis d'accord il suffit que si on dit [tex]\vec{u}=(x_u,y_u)[/tex] il faut que [tex]x_u=2(x_B - x_A)[/tex] et pareil pour y

Or au début on a vu que la composée est la symétrie de translation [tex]2\vec{AB}[/tex]
Par conséquent on peut dire que la translation de vecteur u est la composée de 2 symétries centrales !

Or je sais que la composé de translation est une translation (propriété cours)
Donc toute translation est la composée  d'un nombre pair de symétries centrale.

Cependant, ce qui me "chagrine un peu" c'est que je n'ai pas utilisé que le centre des syméties devait appartenir au cercle de rayon positif.
Peut-être faudrait dire que les centres doivent s'écrire [tex]2\pi r[/tex] (le périmètre du cercle) ?

Enfin, je me rend compte en écrivant ceci qu'on peut dire que toute symétrie centrale est la compose d'un nombre impair de symétrie centrales.
En effet la symétrie centrale est égale à une translation + symétrie. Ai-je raison ?

Je vous remercie pour votre aide,
Bonne soirée,
Bien cordialement

Dernière modification par Laulau (12-05-2020 23:05:19)

Fred

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Re : Symétrie

Bonjour,

  En fait, je pense qu'il y a encore une étape dans ton exercice :
* tu as démontré que toute translation est la composée de DEUX symétries centrales (sans savoir où placer le centre des symétries).
* tu dois démontrer que toute translation est la composée d'un NOMBRE PAIR de symétries centrales, dont les centres sont placés sur le cercle.

Comprends-tu bien la différence?

F.

Laulau

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Re : Symétrie

Rebonsoir

Oui je comprends et c'est exactement ça !
Donc maintenant il faut que le montre que toute translation est la composée d'un nombre pair de symétries centrales dont les centres sont placés sur le cercle.

Mais ne peut-on pas dire que vu que la composé de translation est une translation et qu'une translation est la composée de deux symétries centrales alors la composé de translation (qui est une translation) sera la composée de deux symétries centrales donc d'un nombre pair de symétrie centrale

Pour l'utilisation de la donnée "symétrie centrale de centre le cercle" je n'ai hélas aucune idée.

Fred

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Re : Symétrie

Est-ce que tu peux déjà démontrer que si la longueur de $\vec u$ est inférieure à deux fois le diamètre du cercle, alors la translation de vecteur $\vec u$ est la composée de deux symétries centrales dont les centres sont situés sur le cercle?

F.

Laulau

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Re : Symétrie

La longueur de [tex]\vec{u}[/tex] < 2*r
On a vu précédent que la translation de vecteur u = [tex]2 \vec{AB}[/tex] est là composée de deux symétries centrales
Dinc la longueur 2AB < 2r donc AB<r
Or À est le centre de la symétrie centrale et B est le centre de l’autre symétrie centrale
Donc cela veut dire que A est le mileu de la symétrie et de même pour B
Par conséquent À et B appartiennent au cercle.

Fred

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Re : Symétrie

Bonjour,

  Ce que tu dis n'est pas très clair. Tu ne dis pas exactement comment obtenir $A$ et $B$ sur le cercle de sorte que $\vec u=2\overrightarrow{AB}$. Voici ce que je dirais. Soit $d$ le diamètre du cercle, et $\ell$ la longueur de $\vec u$.
Alors il existe une corde de direction $\vec u$ tel que, si je note $A$ et $B$ les points d'intersection de cette corde avec le cercle, on a
$2\overrightarrow{AB}=\vec u$. Ceci vient du fait que $\ell\leq 2d$.

  Maintenant, si $\ell>2d$, tu considères $N$ tel que $\ell/N\leq 2d$ et tu poses $\vec v=\frac 1N\vec u$. Alors $t_{\vec v}$ est la composée de deux symétries centrales dont les centres sont sur le cercle. Mais $t_{\vec u}=t_{\vec v}\circ\dots\circ t_{\vec v}$ (N termes à droite), et donc $t_\vec u$ est la composée de $2N$ symétries centrales dont les centres sont sur le cercle.

F.

Laulau

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Re : Symétrie

Bonjour !

Je vous remercie déjà pour votre explication détaillée.

Soit $d$ le diamètre du cercle, et $\ell$ la longueur de $\vec u$.
Alors il existe une corde de direction $\vec u$ tel que, si je note $A$ et $B$ les points d'intersection de cette corde avec le cercle, on a
$2\overrightarrow{AB}=\vec u$. Ceci vient du fait que $\ell\leq 2d$.

Je vois bien que nous sommes dans le cas où [tex]l<=2d[/tex]
Mais si je prends une cordes et si je note A et B les points d'intersection de cette corde avec le cercle. Pour moi il n'y a qu'un point qui peut couper le cercle et par conséquent je ne vois pas que $2\overrightarrow{AB}=\vec u$.
Concrètement je n'arrive pas à placer les points A et B. Je vais faire un schéma pour que vous comprenez ce que je veux dire. https://ibb.co/dP1SXTd

Pour le reste si je comprends ci-dessus, l'autre cas est logique et la conclusion de même.

Dernière modification par Laulau (13-05-2020 10:28:10)

Fred

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Re : Symétrie

Tu confonds les mots "corde" et "rayon".

Laulau

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Re : Symétrie

Oui exacte ! Mais je viens de m'en rendre compte !J'ai compris par conséquent.

Pour finir,je me demande que si maintenant au lieu de prendre une translation mais une symétrie centrale. On peut affirmer qu'avec ce qu'on vient de démontrer que c'est la composée d'u nombre ipair cette fois-ci de symétrie de centre le cerle.